Suites réelles et complexes
COURS
14
On adonc établi une échelle de suites tendant vers +∞ (la flèche → signifie «est
négligeabledevant »)
(ln n)
β
→ n
α
→ a
n
→ n! → n
n
En passant aux inverses,onaune échelle comparable de suites tendant vers 0:
n
− n
→
1
n!
→ a
− n
→ n
− α
→ (ln n)
−β
7 Théorèmesd’existence de limites
7.1 • Suites monotones bornées
IMPORTANT
De même,toute suite décroissante minoréec onverge vers sa borne inférieure.
Théorème 12
Toutesuite croissante majorée converge vers sa borne supérieure.
Démonstration
Soit (x n )u ne suite croissante majorée. L’ensemble E = { x n , n ∈ N } est une
partie de R non vide majorée :elle admet une borne supérieure l.
Pour tout ε > 0, l − ε n’est pas un majorant de E ;i lexiste donc un entier n 0
telque l − ε x n0 l. La suiteétant croissante :
∀n n 0 l − ε x n0 x n l ,donc |x n − l| ε
La suite (x n )c onvergevers l.
Ces résultats s’étendent sans difficulté au cas des suites monotones non
bornées :
Théorème 13
Toutesuite croissante non majorée tend vers +∞. Toute suite décroissante non
minoréetend vers −∞.
Pour s’entraîner :ex. 9et10
7.2• Suites adjacentes
Deux suites réelles sont dites adjacentes si :
–l’une estcroissante et l’autre décroissante ;
–leur différence converge vers 0.
Théorème 14
Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.
Démonstration
Supposons( x n )c roissante, (y n )d écroissante et lim
n→∞
(y n − x n ) = 0.
La suite (y n − x n )e st décroissante et elle converge vers 0; elle est donc toujours
positive :
∀n ∈ N x 0 x n y n y 0 .
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