COURS 14
Suites réelles et complexes
En particulier, si (x n )e st àt ermes strictement positifs et s’il existe k ∈ R
∗
+ tel
qu’à partir d’un certain rang,
x n+1
x n
k, alors x n = O(k
n
).
Si 0 < k < 1, lim
n→∞
k
n
= 0, donc( x n )c onvergevers0 .
6 . 6•Comparaison des suites de référence
Comparonslacroissance des suites (n
α
),
(ln n)
β
, (a
n
), (n!), (n
n
).
1.
∀(α, β) ∈ R
2
α < β ⇒ n
α
= o(n
β
)
Démonstration
lim
n→∞
n
α
n β = lim
n→∞
n
α−β
= 0, car α − β < 0.
2.
∀α > 0 ∀a > 1 n
α
= o(a
n
)
Démonstration
Posons ε n =
n
α
a n . La suite
ε n+1
ε n
converge vers
1
a
qui est strictementinférieur
à1 .Soit k ∈ ]
1
a
, 1[ ;i lexiste un rang àpartir duquel
ε n+1
ε n
< k, d’où,d’après
le théorème de comparaison logarithmique, ε n = O(k
n
). On en déduit que
lim
n→∞
ε n = 0, ce qui signifie que n
α
= o(a
n
).
3.
∀(a, a
) ∈ R
∗
+
2
(a < a
⇒ a
n
= o(a
n
))
Démonstration
a
n
a n =
a
a
n . Comme 0 <
a
a < 1, lim
n→∞
a
n
a n = 0.
4.
∀a > 1 a
n
= o(n!)
Démonstration
Posons ε n =
a
n
n!
. La suite
ε n+1
ε n
converge vers 0. Àpartir d’un certain rang,
ε n+1
ε n
<
1
2
, d’où ε n = O
1
2 n
et lim
n→∞
ε n = 0, ce qui signifie que a
n
= o(n!).
5.
n! = o(n
n
)
Démonstration
Posons ε n =
n!
n n . La suite
ε n+1
ε n
converge vers
1
e
. Àpartir d’un certain rang,
ε n+1
ε n
<
1
2
, d’où ε n = O
1
2 n
et lim
n→∞
ε n = 0, ce qui signifie que n! = o(n
n
).
6.
∀α > 0 ∀β > 0( ln n)
β
= o(n
α
)
Démonstration
D’après 2., (ln n)
β
= o((e
α
)
ln n
)d ’où le résultat.
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