Suites réelles et complexes
COURS
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6.4 • Compatibilité avec la multiplication
Il estc lair que, si x n ∼ y n , alors, pour toutes uite (z n )d er éels non nuls,
x n z n ∼ y n z n . On dit que l’équivalenced es suites est compatible avec la
multiplication. Ceci estt rès utile dans les calculs de limites de produits ou de
quotients.
Exemple :
√
n 2 + n +1∼n et 2n +1∼2n, d’où
√
n 2 + n +1
2n+1
∼
n
2n
donc :
lim
n→∞
√ n 2 + n +1
2n+1
=
1
2
ATTENTION
L’équivalencedes suites n’est pascompatible avec l’addition :si xn ∼yn, il
n’est pas certainque xn +zn ∼ yn +zn.
Par exemple :n +1 ∼n−1 , mais
(n +1)−n ∼ (n − 1) − n.
Dans un calcul de limite, on peut remplacer unesuite par une suite équivalente dans un produit ou un quotient,m ais jamais dans une somme ou une
différence.
APPLICATION 7
Un calcul de limite àl’aide d’équivalents
Calculer la limite de la suite x n = n ln
n +1
n−1
.
∀n>1 x n =
n
2
ln
n +1
n−1
=
n
2
ln
1+
2
n−1
Comme
2
n − 1
tend vers 0,
ln
1+
2
n−1
∼
2
n−1
(car lim
x→ 0
ln(1+x)
x
=1).
On en déduit que :
x n ∼
n
n − 1
∼ 1.
Donc :
lim
n→∞
x n = 1.
Pour s’entraîner :ex. 6et7
6.5• Comparaison logarithmique
Théorème 11
Si (x n )e t( y n )s ont deux suites de réels strictement positifs et si, àpartir d’un
certain rang,
x n+1
x n
y n+1
y n
, alors x n = O(y n ).
Démonstration
Supposonsque ∀n n 0
x n+1
y n+1
x n
y n
:àpartir du rang n 0 , la suite
x n
y n
est
décroissante,donc majorée par
x n0
y n0
et minoréepar 0: elle est bornée, ce qui
signifie que x n = O(y n ).
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