COURS 14
Suites réelles et complexes
6 Comparaisondes suites
6.1 • Suitedominée par une autre
Soit (x n )u ne suite de réels non nuls. On dit que la suite réelle (y n )e st
dominée par la suite( x n )s ilequotient
y n
x n
est borné.
∃M ∈ R ∀n ∈ N
y n
x n
M
Notation : On écrit
y n = O(x n )( lire «grand Ode x n »).
Exemple:
nsin n = O(n).
6.2 • Suite négligeable devant une autre
Soit (x n )u ne suite de réels non nuls. On dit que la suite réelle (y n )e st
négligeable devant la suite( x n )s ilequotient
y n
x n
converge vers 0.
∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n n 0
y n
x n
ε
Notation : On écrit
y n = o(x n )( lire«petitode x n »).
Exemple:
nsin n = o(n
2
).
6.3 • Suites équivalentes
IMPORTANT
Si (yn)e st équivalente àune suite
(xn)d eréels non nuls, les termes de la
suite( y n )s ont eux-mêmes non nuls
àp artir d’un certain rang. On peut
alors dire que( x n )e st équivalente
à( y n )o ue ncore quel es suites (xn)
et (yn)s ont équivalentes sans préciser
dansquel ordre on les considère.
Si (xn)e st équivalente à( y n ) ,et
(yn)é quivalente à( z n ) ,alors (xn)
est équivalenteà (zn).
Si deux suites sont équivalentes,
elles sont de même signe àpartir d’un
certain rang.
Si xn ∼ yn, alors :
• (xn)e t( y n )s ont toutes deux
convergentes ou toutes deux divergentes ;
• si l ∈ R et si lim
n→∞
xn = l, alors
lim
n→∞
yn = l.
Soit (x n )u ne suite de réels non nuls. On dit que la suite réelle (y n )e st
équivalente àlasuite (x n )s ilequotient
y n
x n
converge vers 1.
∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n n 0
y n
x n
− 1
ε
Notation : On écrit
y n ∼ x n
(lire «est équivalent à x n »).
Exemple:
√ n 2 +1∼n.
Théorème 10
Soit (x n )u ne suite de réels non nuls et (y n )u ne suite réelle quelconque.
y n ∼ x n
⇐⇒
y n − x n = o ( x n )
On écrit y n = x n + o(x n ).
Démonstration
y n ∼ x n équivaut àl im
n→∞
y n
x n
− 1 = 0, ou encore àl im
n→∞
y n − x n
x n
= 0, c’est-à-dire
à y n − x n = o(x n ).
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