Suites réelles et complexes
COURS
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Démonstration
x n − l y n − l z n − l,
d’où
|y n − l| sup(|x n − l|, |z n − l|).
Pour tout ε > 0,
∃n 0 ∈ N n n 0 ⇒| x n − l | ε
et
∃n 1 ∈ N n n 1 ⇒| z n − l | ε .
Alors n max(n 0 , n 1 ) ⇒| y n − l | ε :(y n )c onvergevers l.
APPLICATION 5
Calcul d’une limite par encadrement
Encadrer la suite (S n ) définiepar :
∀n ∈ N
∗
S n =
n
k=1
n
n 2 + k
.
En déduirequ’elle converge et calculer sa limite.
∀n 3 S n =
n
n 2 +1
+
n
n 2 +2
+···+
n
n 2 +n
S n est une somme de n termes, dontl ep lus grand
est
n
n 2 +1
et le plus petit est
n
n 2 + n
.
Donc :
∀n ∈ N
∗
n
n
n 2 + n
S n n
n
n 2 +1
Or :
lim
n→∞
n
n
n 2 + n
= lim
n→∞
1
1+
1
n
=1
et :
lim
n→∞
n
n
n 2 +1
= lim
n→∞
1
1+
1
n 2
=1
La suite (S n )é tant encadrée par deux suites convergeant vers 1, elle converge et sa limite est 1.
Pour s’entraîner :ex. 5et8
5.3• Extension àl’infini
Théorème 9
Soit (x n )e t( y n )d eux suites réelles telles que ∀n ∈ N x n y n .
• Si (x n )t end vers +∞, (y n )t end aussi vers +∞.
• Si (y n )t end vers −∞, (x n )t end aussi vers −∞.
Démonstration
∀A ∈ R ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 x n A. Afortiori,
∀n n 0 y n A.
On procède de même pour la 2
e
proposition.
APPLICATION 6
Un produitqui tend vers l’infini
Étudier la suite définie paru n =
2 n − 1
k = 1
2−
k
2 n
( n∈N
∗
) .
Les facteurs d’indice k ∈ [[ 1 , n ]] sont supérieurs ou
égauxà
3
2
.Les autres sont supérieurs ou égaux à1.
Donc :
u n
3
2
n
Comme
3
2
n
tend vers +∞, (u n )t end aussi
vers +∞.
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