COURS 14
Suites réelles et complexes
APPLICATION 4
Lever une indétermination
Étudier la limite de la suite x n =
(n + a)(n + b) − n,
où (a, b) ∈ R
∗
+
2
.
C’est une indétermination du type « ∞ − ∞ ».
(*) Multiplions haut et bas par la «quantité conjuguée »
(n + a)(n + b)+n, qui est non nulle :
x n =
(n + a)(n + b) − n
2
√ (n + a)(n + b)+n
=
(a+b)n+ab
√ (n + a)(n + b)+n
Pour n 1, divisons numérateur et dénominateur
par n :
x n =
a + b +
ab
n
1+
a
n
1+
b
n
+1
Le numérateur tend vers a + b, et le dénominateur
vers2 .D’où :
lim
n→∞
x n =
a + b
2
.
(
∗
) Cette méthodedeviendra obsolète lorsque nous aurons étudié
les développementslimités.
Pour s’entraîner :ex. 5
5 Limitesetinégalités
5.1 • Passageàla limite dansune inégalité
Théorème 7
Soit (x n )e t( y n )d eux suites réelles convergentes.
Si ∀n ∈ N x n y n , alors lim
n→∞
x n lim
n→∞
y n .
IMPORTANT
Mêmes i ∀ n∈N x n peut quel im
n→∞
xn = lim
n→∞
yn :l ep assage àl al imite élargit les inégalités,
c’est-à-dire que :
(∀n ∈ N xn < yn)
⇒ lim
n→∞
xn lim
n→∞
yn
Exemple :
∀n ∈ N
∗
1 −
1
n
< 1+
1
n
et
lim
n→∞
(1 −
1
n
) = lim
n→∞
(1 +
1
n
) = 1.
Démonstration
Supposons que lim
n→∞
x n > lim
n→∞
y n , alors lim
n→∞
(x n − y n ) > 0, ce qui entraîne que
(x n − y n )e st strictement positive àpartir d’un certain rang, en contradiction avec
l’hypothèse. Donc lim
n→∞
x n lim
n→∞
y n .
IMPORTANT
Le théorème 8n’est pas un simple corollaire du précédent :onnepeut pas
écrire
lim
n→∞
xn lim
n→∞
yn lim
n→∞
zn
avant de savoir si (yn)c onverge.
Ainsi, ∀n ∈ N
∗ :
−1 −
1
n
sin n 1+
1
n
les deux suites encadrantes convergent
(vers des limites différentes),m ais la
suite( sin n)n ’a pas de limite.
5.2 • Encadrement par des suites de même limite
Le résultat suivantest appelé familièrement «théorème des gendarmes »:
Théorème 8
Soit (x n ), (y n )e t( z n )t rois suites réelles telles que :
∀n ∈ N x n y n z n
Si (x n )e t( z n )c onvergent vers la même limite l, alors (y n )c onvergee ts a
limite est l.
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