Suites réelles et complexes
COURS
14
4.2 • Extension desopérations sur les limites
Résumons lesdifférents cas dans des tableaux (les démonstrations sont laissées au
lecteur) :
Sommes
lim
n→∞
x n
l
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞ −∞ +∞
lim
n→∞
y n
l
l minorée
l
majorée +∞ −∞ −∞
lim
n→∞
(x n + y n ) l + l
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞ −∞
?
Le derniercas est une indétermination.Tout estpossible :
• Limite finie, par exemple:
x n =ny n =
1
n
− n .
• Limite infinie, par exemple :
x n = n
2
y n = −n.
• Pas de limite, par exemple :
x n = n +(−1)
n
y n = −n.
Produits
Pour simplifier, on n’étudiera que des suites positives.
lim
n→∞
x n
l
+∞
+∞
+∞
+∞
lim
n→∞
y n
l
l
> 0
minorant
> 0
0
+∞
lim
n→∞
(x n y n )
ll
+∞
+∞
?
+∞
Ici aussi, dans le cas d’indétermination, tout estpossible :
• Limite finie, par exemple:
x n =ny n =
1
n
.
• Limite infinie, par exemple :
x n = n
2
y n =
1
n
.
• Pas de limite, par exemple :
x n = ny n =
sin
2
n
n
.
Quotients
On ne considèreégalement que des suites positives.
lim
n→∞
x n
l
l > 0 minorant
> 0
0
0 +∞
+∞
+∞ majorée
lim
n→∞
y n l
> 0
0
0
minorant
> 0
0 l
majorée +∞
+∞
lim
n→∞
x n
y n
l
l
+∞
+∞
0
? +∞
+∞
?
0
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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