COURS 14
Suites réelles et complexes
Démonstration
1. Soit (x n )e t( y n )d eux suites convergeant respectivement vers l et l
.
(x n + y n ) − (l + l
) = (x n − l)+(y n −l
)q ui tend vers 0.
Donc (x n + y n )c onvergevers l + l
.
lim
n→∞
(x n + y n ) = lim
n→∞
(x n )+ lim
n→∞
(y n )
2.
x n y n − ll
=(x n −l)y n +l(y n −l
).
La suite (x n − l)c onvergevers0e tlasuite (y n )e st convergente, donc bornée ;
par conséquent,l ep roduit (x n − l)y n converge vers 0. De même, (y n − l
)
converge vers 0, donc l(y n − l
)c onvergevers0 .En définitive, (x n y n − ll
)
converge vers 0, donc( x n y n )c onvergevers ll
.
lim
n→∞
(x n y n ) = lim
n→∞
(x n )l im
n→∞
(y n )
3. Supposons, par exemple, que l > 0. Alors, d’après le théorème 2, il existe
m > 0e tn 0 ∈Ntels que : ∀n n 0 0 < m y n . Àpartir du rang n 0 , la
suite (y n )n es’annule plus, la suite
1
y n
est donc définie àpartir de ce rang et :
∀n n 0
1
y n
−
1
l
=
l − y n
y n l
=
1
ly n
|y n −l|
or 0 <
1
y n
1
m
, donc
1
ly n
1
lm
.
La suite
1
ly n
est bornée, et, parconséquent, le produit
1
ly n
|y n −l| converge
vers 0. Donc
1
y n
converge vers
1
l
.
lim
n→∞
1
y n
=
1
lim
n→∞
y n
(avec lim
n→∞
y n
= 0)
4. Comme en 3., la suite
x n
y n
est définie àpartir d’un certain rang et la suite
1
y n
converge.
x n
y n
= x n
1
y n
, donc
x n
y n
converge et
lim
n→∞
x n
y n
= lim
n→∞
x n lim
n→∞
1
y n
=
lim
n→∞
x n
lim
n→∞
y n
.
4 Limites infinies
4.1 • Suites tendantvers l’infini
On dit que la suite (x n )t end vers +∞ si x n est aussi grand que l’onveut àpartir
d’un certain rang. C’est-à-dire :
∀A ∈ R ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 x n A
On note lim
n→∞
x n = +∞.
IMPORTANT
On peutc onsidérer que (xn)
converge dans R, mais sans cette
précision,ondit que( x n )d iverge.
On définitdemême une suite tendant vers −∞ :
∀A ∈ R ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 x n A
On note lim
n→∞
x n = −∞.
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