Suites réelles et complexes
COURS
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3 Opérations surles limites
3.1 • Suites convergeantvers 0
Théorème 4
La sommededeux suites convergeant vers 0c onverge vers 0.
Démonstration
Soit (x n )e t( y n )d eux suites convergeant vers 0. Soit ε > 0.
∃n 0 ∈ N ∀n n 0 |x n | ε
∃n 1 ∈ N ∀n n 1 |y n | ε
Si n max(n 0 , n 1 )
|x n + y n | |x n | + |y n | 2ε
On ad émontré que, pour tout ε > 0, il existeu ni ndice N àp artir duquel
|x n + y n | 2ε. Il existe doncunindice N
àpartir duquel |x n + y n | ε.
Ceci exprime que la suite (x n + y n )c onvergevers0 .
Remarque
L’ensemble des suites convergeant vers
0est un espace vectoriel sur R.
Théorème 5
Le produit d’une suite bornée et d’une suite convergeant vers 0c onverge vers 0.
Démonstration
Soit (x n )u ne suite convergeant vers 0: ∀ε>0 ∃n 0 ∈N ∀nn 0 |x n |ε
et (y n )u ne suite bornée : ∃M ∈ R ∀n ∈ N |y n | M
–si M =0, ∀n ∈N x n y n =0;
–si M >0, ∀n n 0 |x n y n | Mε.
On ad émontré que, pour tout ε > 0, il existeu ni ndice N àp artir duquel
|x n y n | M ε. Il existe doncunindice N
àpartir duquel |x n y n | ε.
Donclasuite (x n y n )c onvergevers0 .
Exemple :x n =
sin n
n
. La suite( sin n)e st bornée et la suite
1
n
converge vers
0, donclasuite (x n )c onvergevers0.
3.2• Limites quelconques
Des théorèmes précédents, on déduit les résultats suivants :
Théorème 6
1. La somme de deux suites convergentes est convergente et sa limite estlasomme
des deux limites.
2. Le produit de deux suites convergentes estconvergent et sa limite estleproduit
des deux limites.
3. L’inverse d’une suite convergeant vers une limite non nulle l est convergente
et sa limite est
1
l
.
4. Le quotient de deux suites convergentes, la limite du dénominateur étant non
nulle, converge et sa limite estlequotient des deux limites.
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