COURS 14
Suites réelles et complexes
x n
n
l
l
2
0
n 0
Doc. 3 Minorationd’une suite
convergente vers l > 0.
Théorème 2
Toutesuite convergeant vers un réel strictement positif est minorée àpartir d’un
certain rang par un réel strictement positif.
Démonstration
Soit (x n )u ne suite convergeant vers l > 0.
Il suffit dans la définition de la convergence de choisir ε =
l
2
;
∃n 0 ∀n n 0
l
2
x n :( x n )e st minorée par
l
2
àp artir du rang n 0
(Doc. 3).
2.4 • Convergence dessuites extraites
Théorème 3
Toutesuite extraite d’une suite convergente estconvergente et alamême limite.
Démonstration
Soit (x n )u ne suite convergeant vers l.
∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 |x n − l| ε
Soit (x ϕ(n) )u ne suite extraite de (x n ), où ϕ est une application strictement
croissante de N dans lui-même.Alors, pour tout n ∈ N, ϕ(n) n. Donc:
nn 0 ⇒ ϕ(n)n 0 ⇒| x ϕ ( n ) − l | ε
La suite (x ϕ(n) )c onverge donc vers l.
APPLICATION 2
Pour montrer qu’une suite diverge, il suffit d’en trouver deux suites extraites
qui convergent vers des limites différentes
Exemple:Posons x n = cos
(n +
1
n
)π
.
On a:
x 2 n =cos
π
2n
et x 2n+1 = cos
π +
π
2n +1
La suite (x 2n )c onvergev ers1 ,tandis que la suite
(x 2n+1 )c onvergevers −1.
On en déduit que la suite (x n )d iverge.
APPLICATION 3
Si (x 2n )et(x 2 n +1 )convergent vers la même limite l, alors (x n )converge vers l
Soit ε > 0. Il existe n 1 ∈ N tel que :
∀n n 1 |x 2n − l| ε
et n 2 ∈ N tel que :
∀n n 2 |x 2n+1 − l| ε.
Pourtout entier p pair et supérieur ou égal à2 n 1 ,ou
impair et supérieurouégal à2 n 2 +1, |x p −l|ε.
Donc ∀p max(2n 1 , 2n 2 +1) |x p −l|ε.
La suite (x p )c onverge donc vers l.
Pour s’entraîner:ex. 2et3
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