Suites réelles et complexes
COURS
14
La TI-92/Voyage 200 sait calculer des limites de suites :
limit(x(n),n, ∞).
Exemples (saurez-vous démontrer cesrésultats ?)
La notation
∞
k=1
x k désigne la limite, si elle existe, de
n
k=1
x k quand n tend vers l’infini.
La définition de la convergence donne:
∃n 0 ∈N ∀nn 0 x n ∈[l−ε,l+ε]
∃n 1 ∈N ∀nn 1 x n ∈[l
−ε,l
+ε]
Pour n max(n 0 , n 1 ), on doitavoir :
x n ∈ [l − ε, l + ε] ∩ [l
− ε, l
+ ε]
ce quiest impossible.
Donc il ne peut exister qu’un seul réel l tel que (x n )c onverge
vers l :o nl’appelle limite de la suite (x n )e tonécrit :
lim
n→∞
x n = l
Il estclair que :
lim
n→∞
x n = l ⇐⇒ lim
n→∞
(x n − l) = 0
Il peutêtre commode pour étudier la convergence de (x n )v ers l de se ramener
àlaconvergence de la suite (x n − l)
vers 0.
APPLICATION 1
Suiteconvergente d’entiers
Montrerque toute suite d’entiers relatifs quiconverge est
stationnaire.
Soit (a n )u ne suite d’éléments de Z qui converge vers
l. Choisissons ε =
1
3
. Il existe un entier n 0 tel
que ∀n n 0 |a n − l|
1
3
. Comme l’intervalle
[l −
1
3
, l +
1
3
]n epeut contenir qu’un seul entier, on
anécessairement : ∀n n 0 a n = a n0 . La suite (a n )
est stationnaire.
La limite de la suite (a n )e st alors a n0 , c’est-à-dire un
entier :siune suite d’entiers converge, sa limite estun
entier.
2.3 • Encadrement d’une suite convergente
Doc. 2 Encadrement d’une suite
convergente.
Théorème 1
Toutesuite convergente estbornée.
Démonstration
Soit (x n )u ne suite convergeant vers l.
Soit ε > 0:∃ n 0 ∈N ∀ nn 0 l− ε x n l+ ε :l asuite est bornée pour
n n 0 . Si n 0 = 0, la suite estbornée. Si n 0 1, l’ensemble {x 0 , ··· ,x n0−1 }
est fini ;iladonc un plus petit élément x i et un plus grand x j .
Alors ∀n ∈ N min(x i , l − ε) x n max(x j , l + ε): la suite (x n )e st bornée
(Doc. 2).
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
245