COURS 14
Suites réelles et complexes
Une multiplication externe par les réels
Si α ∈ R
(y n ) = α(x n )
⇐⇒
∀ n ∈ N y n = α x n
On vérifie aisément que :
(R
N
, +, ×,.)e st un espace vectoriel sur R.
Une relation d’ordre
(x n ) (y n )
⇐⇒
∀ n ∈ N x n y n
Cet ordre est partiel.
1.3 • Suites extraites
IMPORTANT
Il est utile de remarquer que, puisque
ϕ est strictement croissante :
∀n ∈ N ϕ(n) n
(le montrerpar récurrence).
On appelle suite extraite de la suite (x n )u ne suite constituée de certains termes
de (x n )r éindexés sur N ,c’est-à-dire une suite de la forme (x ϕ(n) )o ùϕest une
application strictement croissante de N dans lui-même.
Exemples : (x 2n ), (x 2n+1 ), (x n 2 )s ont des suites extraites de (x n ).
2 Convergence d’une suite réelle
2.1 • Définitiondelaconvergence
IMPORTANT
On ditqu’une suite diverge si elle ne
converge versaucun réel.
On dit que la suite (x n ) converge versunréel l si x n estaussi voisin que l’on
veutde l, àpartir d’un certain rang. C’est-à-dire :
∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 |x n − l| ε
Autrement dit, tout intervalle centré en l contient tous les termes de la suite à
partir d’un certain rang.
Exemples :
1) Soit (x n )l asuite définie par ∀n ∈ N x n =
n − 1
n +1
.
Montrons qu’elle vérifie la définition de la convergence, avec l = 1:
∀n∈N
n−1
n+1
−1
=
2
n+1
. Soit ε ∈ R
∗
+ ;i lsuffit que n +1
2
ε
pour que
|x n − 1| ε. On peut donc choisir n 0 = E(
2
ε
).
2) Soit (x n )l as uite géométrique de premier terme 1e td er aison q, avec
0 < q < 1: x n =q
n
.
Soit ε ∈ R
∗
+ ;i lsuffit que n
ln ε
ln q
pour que 0 < q
n
ε.
On peut donc choisir n 0 = E
ln ε
ln q
+1:l asuite (q
n
)c onvergevers l = 0.
2.2 • Unicité de la limite
Doc.1 Unicité de la limité.
Supposonsq u’une suite (x n )c onverge àl af ois vers l et vers l
avec l < l
.
Posons ε =
l
− l
3
. Il est clair queles intervalles [l − ε, l + ε]e t[ l
−ε , l
+ε ]
sont disjoints (Doc. 1).
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