Suites réelles et complexes
COURS
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1 Généralitéssur les suites
1.1 • Propriétés dessuites
IMPORTANT
Dans certains cas, une suite peut n’être
définie que sur une partied eN .P ar
exemple, la suite
1
n
est définie
sur N*.
On appelle suite réelle unefamille de réels indexée par les entiers naturels, c’està-dire uneapplication de N dans R.Lasuite
N → R
n
→ x n
est notée en abrégé
(x n ). L’ensemble des suites réelles estnoté R
N
. La suite (x n )e st dite:
constante,s i
∀ n ∈ N x n +1 = x n
croissante,s i
∀ n ∈ N x n +1 x n
décroissante,s i
∀ n ∈ N x n +1 x n
strictement croissante,s i
∀ n ∈ N x n +1 > x n
strictement décroissante,s i
∀ n ∈ N x n +1 < x n
monotone,s ielle est croissante ou décroissante ;
strictement monotone,s ie lle est strictement croissante ou strictement décroissante;
majorée,s i
∃ M ∈ R∀ n ∈ N x n M
minorée,s i
∃ m ∈ R∀ n ∈ N x n m
bornée,s ielle est majorée et minorée ;
périodique,s i
∃ p ∈ N
∗
∀ n ∈ N x n + p = x n
stationnaire,s ielle est constante àpartir d’un certain rang.
IMPORTANT
(xn)bornée ⇐⇒ ( | x n | )majorée
1.2 • Opérations sur les suites
On peut définirdans R
N
:
Une addition
(z n ) = (x n )+(y n )
⇐⇒
∀ n ∈ N z n = x n + y n
Cette opération estc ommutative, associative ;e lle admet pour élément neutre la
suite constante nulle et toute suite aune opposée :
(R
N
, +) est un groupe commutatif.
Une multiplication interne
(z n ) = (x n )(y n )
⇐⇒
∀ n ∈ N z n = x n y n
Cette opération estc ommutative, associative ;e lle admet pour élément neutre la
suite constante 1, mais il existe des suites non nulles qui n’ont pas d’inverse :
(R
N
, ×)n ’est pas un groupe.
IMPORTANT
Dans cet anneau, le produit de deux
éléments peut être nul, sans que l’un
de ces deux éléments soit nul.
Exemple:Les suites (xn)e t( y n )
définies par xn = (−1)
n +1 et
yn = (−1)
n − 1s ont non nulles et
leurproduit estnul.
La multiplication estdistributive par rapport àl’addition :
(R
N
, +, ×)e st un anneau commutatif.
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