Nombres réels
EXERCICES
13
15 On convient que le dénominateur d’un rationnel estle
dénominateur de la fraction irréductible qui le représente ;
il peut toujours être choisi positif.
1) Démontrer que tout intervalle non vide et non réduit à
un singleton contientune infinité de rationnels de dénominateur supérieur à1 0
6
.
2) Soit x un irrationnel. Démontrerqu’il existe ε ∈ R
∗
+ tel
que l’intervalle [x − ε, x + ε]n econtienne aucun rationnel
de dénominateur inférieur à1 0
6
.
Valeurs absolues-parties entières
16 Démontrer que pour tous réels x et y :
1)
|x| + |y| |x + y| + |x − y|
2)
1+|xy − 1| (1 + |x − 1|)(1+|y−1|)
17 Montrer que :
∀(x, y) ∈ R
2
E(x)+E(x+y)+E(y)E(2x)+E(2y)
18 Montrer que ∀n ∈ N
∗
∀x ∈ R
E
E(nx)
n
= E(x)e t
n − 1
k = 0
E
x +
k
n
= E ( nx)
19 Soit n ∈ N
∗
. Montrerq ue la partie entière de
(2 +
√
3)
n
est un entier impair.
20 Soit (m, n) ∈ N
∗2
. Démontrerque
m +2n
m+n
est plus
proche de
√ 2q ue
m
n
et que
√ 2e st compris entre ces
deux rationnels. En déduire une valeur approchée rationnellede
√ 2à1 0
− 4
près.
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