Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Toute partie majorée de R possèdeune borne supérieure.
b) Si une partie A de R possède une borne supérieure M ,
tout réel inférieurà M appartient à A.
c) La somme de deux irrationnelsest un irrationnel.
d) La somme d’un rationnel et d’un irrationnel estunirrationnel.
e) L’ensemble des irrationnelsest un intervalle de R.
f) Entredeux rationnels distincts, il existe toujours un irrationnel.
g) La fonction partie entière estcroissante.
h) Tout réel possède des approximations rationnelles à
10
−p
près, quel que soit l’entier p.
Inégalités dans R
2 Soit (a, b, c) ∈ R
3
+ . Montrer que l’un au moins des
troisréels a(1 − b), b(1 − c), c(1 − a)e st inférieur ou
égal à
1
4
.
3 Soit x 1 , x 2 , ··· ,x n n réels strictement positifs.
Montrerque :
(x 1 + x 2 + ···+x n )(x
−1
1 + x
−1
2 + ···+x
−1
n ) n
2
Borne supérieure ou inférieure
4 Déterminer les bornes supérieure et inférieure des ensemblessuivants, si elles existent :
a)
1
n
, n ∈ N
∗
;b )
( − 1)
n
(1 −
1
n
) , n ∈ N
∗
;
c)
1
n
−
1
p
, (n, p) ∈ N
∗2
.
5 Soit a et b deux réels. Montrer que :
( ∀ε > 0 a b + ε ) ⇒ a b
6 Soit A et B deux parties non vides majoréesdeR.
Montrer que :
1) A ⊂ B ⇒ sup A sup B.
2) A ∪ B estmajorée. Déterminer sup(A ∪ B).
3) A ∩ B est majorée. Peut-on déterminer sup(A ∩ B)?
7 Soit A et B deux parties non vides de R telles que :
∀(a, b) ∈ A × Ba b
Montrer que sup A et inf B existent et que
sup A inf B.
A-t-on égalité ?
8 Soit A une partie non vide bornée de R.Montrer que
l’ensemble des distances entre deux éléments quelconques
de A possèdeune borne supérieure. On appelle ce nombre
diamètre de A et on le note d(A). Montrerque :
d(A) sup A − inf A
et que:
∀ε>0 ∃(x,y)∈A
2
|x−y|>sup A − inf A − 2ε
Conclure.
9 Soit (x n )e t( y n )d eux suites réelles bornées. Montrer
que :
| sup x n − sup y n | sup |x n − y n |
Nombresrationnels et irrationnels
10 Soit x et y deux rationnels tels que
√ x et
√ y sont
irrationnels.Démontrer que
√ x +
√ y est irrationnel.
11 Soit (m, n) ∈ N
∗2
. Montrerque si
n
√
m est rationnel, alors il estentier.
12 Montrer que les nombres suivants sont rationnels :
a =
3
20 +14
√ 2+
3
20 − 14
√ 2
b =
√ 2
4
7+4
√
3−
√ 2
4
7−4
√ 3
13 Montrerq ue les nombres
√
6 −
√
2 −
√
3e t
√
2+
√ 3+
√
5s ont irrationnels.
14
∗
Montrer que pour tout n ∈ N, il existe p ∈ N
∗
tel
que:
(1 +
√ 2)
n
=
√ p +
p − 1
240
1 Vraioufaux ?
a) Toute partie majorée de R possèdeune borne supérieure.
b) Si une partie A de R possède une borne supérieure M ,
tout réel inférieurà M appartient à A.
c) La somme de deux irrationnelsest un irrationnel.
d) La somme d’un rationnel et d’un irrationnel estunirrationnel.
e) L’ensemble des irrationnelsest un intervalle de R.
f) Entredeux rationnels distincts, il existe toujours un irrationnel.
g) La fonction partie entière estcroissante.
h) Tout réel possède des approximations rationnelles à
10
−p
près, quel que soit l’entier p.
Inégalités dans R
2 Soit (a, b, c) ∈ R
3
+ . Montrer que l’un au moins des
troisréels a(1 − b), b(1 − c), c(1 − a)e st inférieur ou
égal à
1
4
.
3 Soit x 1 , x 2 , ··· ,x n n réels strictement positifs.
Montrerque :
(x 1 + x 2 + ···+x n )(x
−1
1 + x
−1
2 + ···+x
−1
n ) n
2
Borne supérieure ou inférieure
4 Déterminer les bornes supérieure et inférieure des ensemblessuivants, si elles existent :
a)
1
n
, n ∈ N
∗
;b )
( − 1)
n
(1 −
1
n
) , n ∈ N
∗
;
c)
1
n
−
1
p
, (n, p) ∈ N
∗2
.
5 Soit a et b deux réels. Montrer que :
( ∀ε > 0 a b + ε ) ⇒ a b
6 Soit A et B deux parties non vides majoréesdeR.
Montrer que :
1) A ⊂ B ⇒ sup A sup B.
2) A ∪ B estmajorée. Déterminer sup(A ∪ B).
3) A ∩ B est majorée. Peut-on déterminer sup(A ∩ B)?
7 Soit A et B deux parties non vides de R telles que :
∀(a, b) ∈ A × Ba b
Montrer que sup A et inf B existent et que
sup A inf B.
A-t-on égalité ?
8 Soit A une partie non vide bornée de R.Montrer que
l’ensemble des distances entre deux éléments quelconques
de A possèdeune borne supérieure. On appelle ce nombre
diamètre de A et on le note d(A). Montrerque :
d(A) sup A − inf A
et que:
∀ε>0 ∃(x,y)∈A
2
|x−y|>sup A − inf A − 2ε
Conclure.
9 Soit (x n )e t( y n )d eux suites réelles bornées. Montrer
que :
| sup x n − sup y n | sup |x n − y n |
Nombresrationnels et irrationnels
10 Soit x et y deux rationnels tels que
√ x et
√ y sont
irrationnels.Démontrer que
√ x +
√ y est irrationnel.
11 Soit (m, n) ∈ N
∗2
. Montrerque si
n
√
m est rationnel, alors il estentier.
12 Montrer que les nombres suivants sont rationnels :
a =
3
20 +14
√ 2+
3
20 − 14
√ 2
b =
√ 2
4
7+4
√
3−
√ 2
4
7−4
√ 3
13 Montrerq ue les nombres
√
6 −
√
2 −
√
3e t
√
2+
√ 3+
√
5s ont irrationnels.
14
∗
Montrer que pour tout n ∈ N, il existe p ∈ N
∗
tel
que:
(1 +
√ 2)
n
=
√ p +
p − 1
240