Nombres réels
Pourdémontrer une inégalité faisant intervenir des valeurs absolues :
• on peut utiliser l’inégalité triangulaire :lavaleur absolue d’une somme est inférieure ou égale àlasomme des
valeurs absolues ;
• on peut éventuellement distinguer plusieurs cas suivant le signe du contenu des valeurs absolues.
Pour démontrer une relation faisant intervenir des parties entières :
• on utiliselefait que E(x) ∈ Z et lesinégalités E(x) x < E(x)+1;
x − 1 < E ( x ) x .
...................................................................................................................................................................................................
Exercice résolu
POINT FIXE D’UNE APPLICATION CROISSANTE DE [0,1] DANS LUI-MÊME
Soitf uneapplication croissante de [0, 1] dans lui-même. On considère l’ensemble E = {x ∈ [0, 1] f (x) x}.
1 Montrer que Ep ossède une borne supérieure b.
2 Montrer quef( b )=b .
Conseils
Solution
1) L’ensemble E est non vide (0 ∈ E),et majoré par 1;il possède donc
une borne supérieure b, quiappartient à[ 0 , 1].
Montrer que les cas f (b) < b et f (b) > b
conduisent àd es contradictions. Attention àu ne erreur fréquente :u nr éel inférieur àlaborne supérieure de E n’est
pas nécessairement élément de E !
2) Raisonnons par l’absurde.
• Supposons f (b) < b. Comme b estl ep lus petit desm ajorants de
E, f (b)n ’en estp as un ;i le xiste donc un élément c de E tel que
f (b) < c b. f étant croissante, f (c) f (b), d’où f (c) < c en
contradiction avec l’appartenance de c àl’ensemble E.
• Supposonsq ue f (b) > b. f étantc roissante, f (f (b)) b donc
f (b) ∈ E, ce qui est impossiblepuisque f (b)e st strictement supérieur
àlaborne supérieure de E.
Conclusion : f (b) = b.
239
Pourdémontrer une inégalité faisant intervenir des valeurs absolues :
• on peut utiliser l’inégalité triangulaire :lavaleur absolue d’une somme est inférieure ou égale àlasomme des
valeurs absolues ;
• on peut éventuellement distinguer plusieurs cas suivant le signe du contenu des valeurs absolues.
Pour démontrer une relation faisant intervenir des parties entières :
• on utiliselefait que E(x) ∈ Z et lesinégalités E(x) x < E(x)+1;
x − 1 < E ( x ) x .
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Exercice résolu
POINT FIXE D’UNE APPLICATION CROISSANTE DE [0,1] DANS LUI-MÊME
Soitf uneapplication croissante de [0, 1] dans lui-même. On considère l’ensemble E = {x ∈ [0, 1] f (x) x}.
1 Montrer que Ep ossède une borne supérieure b.
2 Montrer quef( b )=b .
Conseils
Solution
1) L’ensemble E est non vide (0 ∈ E),et majoré par 1;il possède donc
une borne supérieure b, quiappartient à[ 0 , 1].
Montrer que les cas f (b) < b et f (b) > b
conduisent àd es contradictions. Attention àu ne erreur fréquente :u nr éel inférieur àlaborne supérieure de E n’est
pas nécessairement élément de E !
2) Raisonnons par l’absurde.
• Supposons f (b) < b. Comme b estl ep lus petit desm ajorants de
E, f (b)n ’en estp as un ;i le xiste donc un élément c de E tel que
f (b) < c b. f étant croissante, f (c) f (b), d’où f (c) < c en
contradiction avec l’appartenance de c àl’ensemble E.
• Supposonsq ue f (b) > b. f étantc roissante, f (f (b)) b donc
f (b) ∈ E, ce qui est impossiblepuisque f (b)e st strictement supérieur
àlaborne supérieure de E.
Conclusion : f (b) = b.
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