Nombres réels
5.4 • Approximation décimale à1 0
− p
près
Sur la calculatriceT I-92/Voyage 200, la fonction
round(x,n) permet d’obtenir une valeur approchée de x
à1 0
− n près.
Soit x un réel et p un entier naturel. On a:
E(x10
p
) x10
p
< E(x10
p
)+1
d’où :
E(x10
p
)10
−p
x < E(x10
p
)10
−p
+10
− p
E(x10
p
)10
−p
est un nombre décimal approchant x à1 0
− p
près par défaut, et E(x10
p
)10
−p
+10
− p
un nombre décimal
approchant x à1 0
− p
près par excès.
Remarque :Unnombre décimal est un rationnel de la forme
p
10 q où p ∈ Z et q ∈ N
∗
.
On peut donc approcherunréel quelconque d’aussi près que l’on veut par des nombres
décimaux. L’écriture décimale illimitée de xr écapitule toutes ces approximations :
π = 3, 14159265... signifie :
3
π < 4
3, 1
π < 3, 2
3, 14
π < 3, 15
3, 141
π < 3, 142
3, 1415 π < 3, 1416
etc...
Pours’entraîner :ex. 20
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’un réel x est rationnel,onpeut :
• chercher un entier q telque qx ∈ Z ;
• montrerque x est la somme, le produit ou le quotient de nombres rationnels ;
• montrer que x vérifieune équation dont les solutions sont rationnelles.
Pourmontrer qu’un réel x est irrationnel, on peut :
• montrer que c’estlasomme ou le produit d’un rationnel et d’un irrationnel ;
• on raisonne par l’absurde :onsuppose qu’il existe deux entiers p et q tels que x =
p
q
et on chercheune
contradiction.
Pour montrer qu’un réel x est la bornesupérieure d’une partie A de R,onpeut:
• montrer que x est un majorant de A, et que tout autre majorant de A lui est supérieur ;
• montrer que x est un majorant de A, et que pour tout ε > 0i le xiste un élément de A comprise ntre
x − ε et x.
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