Nombres réels
COURS
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5 Approximation d’un réel
5.1 • Valeur absolued’un réel
Sur la calculatriceT I-92/Voyage 200, la fonction valeur
absolue s’appelle abs.
Pour tout réel x, on appelle valeur absolue de x le réel :
|x| = max{x, −x} =
x si x 0
−x si x 0
Propriétés
• ∀(x, y) ∈ R
2
|xy| = |x||y|
• ∀(x, y) ∈ R
2
|
x
y
| =
|x|
|y|
(y = 0)
• ∀(x, y) ∈ R
2
|x + y| |x| + |y|
• ∀(x, y) ∈ R
2
|x − y| |x| + |y|
• ∀(x, y) ∈ R
2
|x|−|y|
|x+y||x|+|y|
Pour s’entraîner :ex. 16
5.2 • Distance dans R
On appelle distance de deux réels x et y le réel |x − y|.
Elle vérifie l’inégalité triangulaire :
∀(x, y, z) ∈ R
3
|x − z| |x − y| + |y − z|
Cette notion de distance joue un très grand rôle en analyse, care lle permet de
caractériser la plus ou moins grande proximité des réels. L’ensemble des réels dont
la distance à a est inférieure à ε est l’intervalle ]a − ε, a + ε[:
∀x ∈ R
|x − a| < ε ⇐⇒ x ∈ ] a − ε , a + ε [
On dit dans ce cas que x est une valeur approchée de a à ε près.
Sur la calculatrice TI-92/Voyage 200, la fonction partie
entière s’appelle int ou floor.N ep as confondre avec la
fonction ipart qui coïncide avec la partie entière pour les
nombres positifs, mais pas pour les nombres négatifs.
5.3 • Partie entièred’un réel
Soit x un réel. On appelle partie entière de x le plusg rand
entier inférieurouégal à x. On le note E(x). On a:
E(x)∈Z et E(x) x < E(x)+1
d’où
x − 1 < E(x) x
De plus :
∀n ∈ Z , n x ⇒ n E(x)
Pours’entraîner :ex. 17, 18
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