COURS 13
Nombres réels
4.2 • Densitédes rationnels et desirrationnels
Au sein de R ,les rationnels et les irrationnels sont intimement mêlés, comme le
montre le théorème suivant :
Théorème 1
Tout intervalle non videe tn on réduit àu ns ingleton contient au moins un
rationnel et un irrationnel.
On dit que Q et R\Q sont denses dans R.
Démonstration
Soit I un intervalle nonvide et non réduit àunsingleton, et (a, b) ∈ I
2
telque
a < b. Soit q un entier strictement supérieur à
1
b − a
, et soit p le plus petit
entier strictement supérieur à aq.
On adonc :
p − 1 aq < p
comme q > 0:
p
q
−
1
q
a <
p
q
d’où :
a <
p
q
a +
1
q
< b
c’est-à-dire :
p
q
∈ ]a, b[, et par conséquent :
p
q
∈ I .
I contient donc un rationnel.
De même,l’intervalle
a
√ 2
,
b
√ 2
contient un rationnel r.
a
√ 2
< r <
b
√ 2
⇒ a < r
√ 2 < b
I contient donc le réel r
√ 2, qui est irrationnel si r
= 0.
Si r = 0, l’intervalle
a
√ 2
, 0
, qui est inclus dans
a
√ 2
,
b
√ 2
, contient un
rationnel r 1 non nul;danscecas, r 1
√ 2e st irrationnel et appartient à I .
Dans tous les cas, I contient un irrationnel.
Remarque :Enfait, tout intervalle In on vide et non réduit àunsingleton contient
une infinité de rationnels et d’irrationnels ;eneffet, si In econtenait qu’un nombre
fini de rationnels, on pourrait les classer par ordre croissant :r 1
précédent. On peut raisonnerdemême pour lesirrationnels.
Pours’entraîner :ex. 15
236
Nombres réels
4.2 • Densitédes rationnels et desirrationnels
Au sein de R ,les rationnels et les irrationnels sont intimement mêlés, comme le
montre le théorème suivant :
Théorème 1
Tout intervalle non videe tn on réduit àu ns ingleton contient au moins un
rationnel et un irrationnel.
On dit que Q et R\Q sont denses dans R.
Démonstration
Soit I un intervalle nonvide et non réduit àunsingleton, et (a, b) ∈ I
2
telque
a < b. Soit q un entier strictement supérieur à
1
b − a
, et soit p le plus petit
entier strictement supérieur à aq.
On adonc :
p − 1 aq < p
comme q > 0:
p
q
−
1
q
a <
p
q
d’où :
a <
p
q
a +
1
q
< b
c’est-à-dire :
p
q
∈ ]a, b[, et par conséquent :
p
q
∈ I .
I contient donc un rationnel.
De même,l’intervalle
a
√ 2
,
b
√ 2
contient un rationnel r.
a
√ 2
< r <
b
√ 2
⇒ a < r
√ 2 < b
I contient donc le réel r
√ 2, qui est irrationnel si r
= 0.
Si r = 0, l’intervalle
a
√ 2
, 0
, qui est inclus dans
a
√ 2
,
b
√ 2
, contient un
rationnel r 1 non nul;danscecas, r 1
√ 2e st irrationnel et appartient à I .
Dans tous les cas, I contient un irrationnel.
Remarque :Enfait, tout intervalle In on vide et non réduit àunsingleton contient
une infinité de rationnels et d’irrationnels ;eneffet, si In econtenait qu’un nombre
fini de rationnels, on pourrait les classer par ordre croissant :r 1
précédent. On peut raisonnerdemême pour lesirrationnels.
Pours’entraîner :ex. 15
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