Nombres réels
COURS
13
4) Si I n’estniminoré ni majoré, un réel x quelconque n’est ni un minorant ni
un majorant de I , ce qui montrel’existence de deux éléments de I , y et z tels
que y < x < z, ce quiimplique que x ∈ I . I est donc égal à R tout entier.
I = R = ] − ∞, +∞[
En définitive, tout intervalle de R est de l’undes onze types étudiés.
3.3 • Droite numérique achevée
ATTENTION
On ne peut pas étendre à R les opérations d’addition et de multiplicationd eR ,e td es expressions comme
+∞ − ∞ ou 0×∞ n’ont aucun sens.
On appelle droite numérique achevée l’ensemble R = R ∪{−∞,+∞}, où −∞
et +∞ sont deux éléments non réels. On peut étendre à R la relation d’ordrede
Rpar :
∀x ∈ R − ∞ < x < +∞
Cecipermettra par exemple de dire qu’une suite aune limite dans R.
4 Rationnels et irrationnels
4.1 • Corps desrationnels
Un nombre réel estdit rationnel si c’est le quotient de deux entiers, par exemple :
2
3
, −
3
4
, −2, ···
L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. On vérifie qu’ile st stable par
addition (la somme de deux rationnels est un rationnel), par multiplication (le
produit de deux rationnels est un rationnel), et que muni de ces opérations c’est
un corps commutatif totalement ordonné, comme R.
En revanche, Q ne possède pas la propriété de la borne supérieure :l ’ensemble
des rationnels dont le carré est inférieur ou égal à2est non vide, majoré, mais
il n’a pas de borne supérieure dans Q. C’est ce point qui marque la différence
essentielle entre Q et R. Nous verrons que la propriété de la borne supérieure
est àlabase de la plupart des théorèmes d’analyse, qui tomberaient en défaut si on
n’utilisaitque des nombres rationnels.
APPLICATION 3
Irrationnalité de
√ 2
Jusqu’à Pythagore (550 av. J-C.), les Grecs pensaient
que deux longueurs quelconques étaient toujours commensurables, c’est-à-dire multiples d’une même petite
longueur, autrement dit que le quotient de l’une par
l’autreétait toujours un nombre rationnel.
Il fallut doncchercher deux entiers p et q tels que
p
q
représente le rapportdeladiagonale d’un carré àson
côté.D ’après le théorème de Pythagore, ce nombre
doit vérifier
p
q
2
= 2, c’est-à-dire p
2
= 2q
2
.
Or, dans la décomposition en facteurs premiers de
p
2
, tous les exposants des facteurs premiers sont pairs,
tandis que dans celle de 2q
2
, l’exposant de 2e st
impair... On aboutit àune contradiction.
LesG recs durent admettre que deux grandeurs quelconquesp euvent être incommensurables et ils déclarèrent irrationnel le quotient de deux telles grandeurs.
On doitàEudoxedeCnide (IV
e
siècle av.J-C.) la première théorie des nombres incluant les irrationnels.
Pour s’entraîner :ex. 10 à14
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
235
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4) Si I n’estniminoré ni majoré, un réel x quelconque n’est ni un minorant ni
un majorant de I , ce qui montrel’existence de deux éléments de I , y et z tels
que y < x < z, ce quiimplique que x ∈ I . I est donc égal à R tout entier.
I = R = ] − ∞, +∞[
En définitive, tout intervalle de R est de l’undes onze types étudiés.
3.3 • Droite numérique achevée
ATTENTION
On ne peut pas étendre à R les opérations d’addition et de multiplicationd eR ,e td es expressions comme
+∞ − ∞ ou 0×∞ n’ont aucun sens.
On appelle droite numérique achevée l’ensemble R = R ∪{−∞,+∞}, où −∞
et +∞ sont deux éléments non réels. On peut étendre à R la relation d’ordrede
Rpar :
∀x ∈ R − ∞ < x < +∞
Cecipermettra par exemple de dire qu’une suite aune limite dans R.
4 Rationnels et irrationnels
4.1 • Corps desrationnels
Un nombre réel estdit rationnel si c’est le quotient de deux entiers, par exemple :
2
3
, −
3
4
, −2, ···
L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. On vérifie qu’ile st stable par
addition (la somme de deux rationnels est un rationnel), par multiplication (le
produit de deux rationnels est un rationnel), et que muni de ces opérations c’est
un corps commutatif totalement ordonné, comme R.
En revanche, Q ne possède pas la propriété de la borne supérieure :l ’ensemble
des rationnels dont le carré est inférieur ou égal à2est non vide, majoré, mais
il n’a pas de borne supérieure dans Q. C’est ce point qui marque la différence
essentielle entre Q et R. Nous verrons que la propriété de la borne supérieure
est àlabase de la plupart des théorèmes d’analyse, qui tomberaient en défaut si on
n’utilisaitque des nombres rationnels.
APPLICATION 3
Irrationnalité de
√ 2
Jusqu’à Pythagore (550 av. J-C.), les Grecs pensaient
que deux longueurs quelconques étaient toujours commensurables, c’est-à-dire multiples d’une même petite
longueur, autrement dit que le quotient de l’une par
l’autreétait toujours un nombre rationnel.
Il fallut doncchercher deux entiers p et q tels que
p
q
représente le rapportdeladiagonale d’un carré àson
côté.D ’après le théorème de Pythagore, ce nombre
doit vérifier
p
q
2
= 2, c’est-à-dire p
2
= 2q
2
.
Or, dans la décomposition en facteurs premiers de
p
2
, tous les exposants des facteurs premiers sont pairs,
tandis que dans celle de 2q
2
, l’exposant de 2e st
impair... On aboutit àune contradiction.
LesG recs durent admettre que deux grandeurs quelconquesp euvent être incommensurables et ils déclarèrent irrationnel le quotient de deux telles grandeurs.
On doitàEudoxedeCnide (IV
e
siècle av.J-C.) la première théorie des nombres incluant les irrationnels.
Pour s’entraîner :ex. 10 à14
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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