COURS 13
Nombres réels
APPLICATION 2
Intersection d’intervalles
Démontrerq ue l’intersection d’une famille quelconque
d’intervalles est un intervalle.
Soit (I j ) j∈J une famille d’intervalles et I =
j∈J
I j
l’intersection de cette famille, c’est-à-dire l’ensemble
des réels appartenant àt ous les intervalles I j . Montronsq ue I est un intervalle. Soit c et d deux
éléments de I tels que c < d et x un réel tel que
c x d. Pour tout j ∈ J , c ∈ I j et d ∈ I j ;
comme I j estu ni ntervalle, on en déduit x ∈ I j .
Ainsi x appartientà I j pour tout j ∈ J : x ∈I.
L’ensemble I vérifiebien la définition d’un intervalle
même s’il est vide, voir paragraphe 3.2.
3.2 • Classification desintervalles de R
Nous allons voir quel ap ropriété de la borne supérieure permet de nommer
facilement tous les intervalles de R.
Notons d’abord que l’ensemble vide est un intervalle, car toute proposition qui
commence par ∀x ∈ ∅ est toujours vraie. Un singleton estégalement un intervalle.
Considérons maintenant un intervalle I contenant plus d’un élément.
1) Si I estm ajoré et minoré, il possède uneb orne supérieure b et une borne
inférieure a distinctes. Pour tout x ∈ Ia x b . Réciproquement, soit x
un réel telque a < x < b. x n’estniunminorant ni un majorant de I , ce qui
montre l’existencededeux éléments de I , y et z tels que y < x < z. D’après
la définitiond’un intervalle, on en déduit que x ∈ I .
I contient donc tous les éléments strictement compris entre a et b. Suivant que
a et b eux-mêmes appartiennent ou non à I , on peut avoir :
I = {x ∈ R , a x b} = [a, b]i ntervalle fermé borné ou segment
I = {x ∈ R , a x < b} = [a, b[i ntervalle borné semi-ouvert àdroite
I = {x ∈ R , a < x b} = ]a, b]i ntervalle borné semi-ouvert àgauche
I = {x ∈ R , a < x < b} = ]a, b[i ntervalle borné ouvert
2) Si I estminoré mais non majoré, il aune borne inférieure a. Tousles éléments
de I sonts upérieurs ou égaux à a distinctes.R éciproquement, soit x un réel
telq ue x > a. x n’estn iu nm inorant ni un majorant de I , ce qui montre
l’existencededeux éléments de I , y et z tels que y < x < z, ce qui implique
que x ∈ I .
I contient donct ous les éléments strictement supérieurs à a. Suivantq ue a
lui-même appartient ou non à I , on aura :
I = {x ∈ R , x a} = [a, +∞[i ntervalle fermé non majoré
I = {x ∈ R , x > a} = ]a, +∞[i ntervalle ouvert non majoré
3) Si I estmajoré mais non minoré, on obtient de même :
I = {x ∈ R , x b} = ] − ∞, b]i ntervalle fermé non minoré
I = {x ∈ R , x < b} = ] − ∞, b[i ntervalle ouvert non minoré
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Nombres réels
APPLICATION 2
Intersection d’intervalles
Démontrerq ue l’intersection d’une famille quelconque
d’intervalles est un intervalle.
Soit (I j ) j∈J une famille d’intervalles et I =
j∈J
I j
l’intersection de cette famille, c’est-à-dire l’ensemble
des réels appartenant àt ous les intervalles I j . Montronsq ue I est un intervalle. Soit c et d deux
éléments de I tels que c < d et x un réel tel que
c x d. Pour tout j ∈ J , c ∈ I j et d ∈ I j ;
comme I j estu ni ntervalle, on en déduit x ∈ I j .
Ainsi x appartientà I j pour tout j ∈ J : x ∈I.
L’ensemble I vérifiebien la définition d’un intervalle
même s’il est vide, voir paragraphe 3.2.
3.2 • Classification desintervalles de R
Nous allons voir quel ap ropriété de la borne supérieure permet de nommer
facilement tous les intervalles de R.
Notons d’abord que l’ensemble vide est un intervalle, car toute proposition qui
commence par ∀x ∈ ∅ est toujours vraie. Un singleton estégalement un intervalle.
Considérons maintenant un intervalle I contenant plus d’un élément.
1) Si I estm ajoré et minoré, il possède uneb orne supérieure b et une borne
inférieure a distinctes. Pour tout x ∈ Ia x b . Réciproquement, soit x
un réel telque a < x < b. x n’estniunminorant ni un majorant de I , ce qui
montre l’existencededeux éléments de I , y et z tels que y < x < z. D’après
la définitiond’un intervalle, on en déduit que x ∈ I .
I contient donc tous les éléments strictement compris entre a et b. Suivant que
a et b eux-mêmes appartiennent ou non à I , on peut avoir :
I = {x ∈ R , a x b} = [a, b]i ntervalle fermé borné ou segment
I = {x ∈ R , a x < b} = [a, b[i ntervalle borné semi-ouvert àdroite
I = {x ∈ R , a < x b} = ]a, b]i ntervalle borné semi-ouvert àgauche
I = {x ∈ R , a < x < b} = ]a, b[i ntervalle borné ouvert
2) Si I estminoré mais non majoré, il aune borne inférieure a. Tousles éléments
de I sonts upérieurs ou égaux à a distinctes.R éciproquement, soit x un réel
telq ue x > a. x n’estn iu nm inorant ni un majorant de I , ce qui montre
l’existencededeux éléments de I , y et z tels que y < x < z, ce qui implique
que x ∈ I .
I contient donct ous les éléments strictement supérieurs à a. Suivantq ue a
lui-même appartient ou non à I , on aura :
I = {x ∈ R , x a} = [a, +∞[i ntervalle fermé non majoré
I = {x ∈ R , x > a} = ]a, +∞[i ntervalle ouvert non majoré
3) Si I estmajoré mais non minoré, on obtient de même :
I = {x ∈ R , x b} = ] − ∞, b]i ntervalle fermé non minoré
I = {x ∈ R , x < b} = ] − ∞, b[i ntervalle ouvert non minoré
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