Nombres réels
COURS
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APPLICATION 1
Raisonneravec des bornes supérieures
Pour montrerq u’un réel est la borne supérieure d’une
partie,ilfaut montrer :
1) que c’est un majorant de cette partie ;
2) qu’il est inférieur ou égal àn ’importe quel majorant
de la partie.
Exemple :Soit Ae tBdeux parties non vides majorées
de R.Onpose :
A + B = {c ∈ R , ∃(a, b) ∈ A × Bc = a + b }
Montrer queA + Bp ossède une borne supérieure qui est
sup A +sup B.
1) Soit a 0 et b 0 des éléments de A et B, a 0 + b 0 ∈
A + B, donc A + B est non vide. Par ailleurs, A et B
sont non vides et majorées, elles possèdent donc des
bornes supérieures et :
∀c ∈ A + B ∃(a, b) ∈ A × B
c = a + b sup A +sup B
Donc sup A +sup B est un majorant de A + B. Cette
partie est donc non vide et majorée, elle possède une
borne supérieure.
2) Soit M un majorant quelconque de A + B. Pour
tout (a, b) ∈ A × B :
a + b M d’où a M − b
Ce quis ignifie que M − b majore A :i le st par
conséquent supérieurouégal às up A, qui est le plus
petit des majorants de A :
M − b sup A c’est-à-dire b M − sup A
M − sup A majore B, il est donc supérieur ou égal
às up B, qui est le plus petit majorant de B :
M − sup A sup B d’où M sup A +sup B
Ainsi, toutmajorant de A + B est supérieur ou égalà
sup A +sup B, qui est donc le plus petit majorant de
A + B, c’est-à-diresaborne supérieure.
sup(A + B) = sup A +sup B
Pour s’entraîner :ex. 5à7
3 Intervalles de R
3.1 • Définition d’un intervalle
Une partie I de R estunintervalle si, dès qu’ellecontient deux réels, elle contient
tous les réelsintermédiaires, c’est-à-dire :
∀(c, d) ∈ I
2
∀x ∈ R
c x d ⇒ x ∈ I
Par exemple, R + est un intervalle, car tout réel compris entre deux réels positifs
est positif. Mais R
∗
n’en est pasun, car il contient 1et −1sans contenir 0.
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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