COURS 13
Nombres réels
Remarque :Plus généralement, on peut ajouter membre àm embre deux inégalités,
mais jamais les soustrairemembre àmembre !Onpeut de même multiplier membre à
membre deux inégalités entre réels positifs.
On résume l’ensemble des propriétés de R en disant que (R, +, ×, ) est un
corps commutatif totalement ordonné.
Pours’entraîner :ex. 2et3
2 Propriété de la borne supérieure
2.1 • Majorant, minorant
Une partie A de R est dite majorée s’il existe un réel M supérieur ou égal à
tous les éléments de A :
∃M ∈ R ∀x ∈ Ax M
Tout réel M ayantcette propriété estappelé majorant de A .
Exemples : L’intervalle] 0 , 1[ est majoré par 1, par
3
2
, ou plus généralement par
tout réel supérieurouégal à1.
L’ensemble des entiers naturels N n’est pas majoré :iln’existe aucun réel supérieur
ou égal àtous les entiers.
De même,une partie A de R est dite minorée s’ilexiste un réel m inférieur ou
égal àtous les éléments de A :
∃m ∈ R ∀x ∈ Am x
Tout réel m ayantcette propriété estappelé minorant de A.
Une partie qui est àlafois majorée et minorée estdite bornée.
Exemples : L’intervalle ]0, 1[ est borné. L’ensemble N n’est pas borné.
2.2 • Bornesupérieure, borne inférieure
Nous admettrons que toute partie A de R non vide et majorée possèdeu n
majorant plus petit que tous les autres, appelé borne supérieure de A et noté
sup A :o ndit que R possède la propriété de la borne supérieure.
Par exemple :s up ]0, 1[= 1( notons que la borne supérieure d’une partie n’appartient pas nécessairement àcette partie).
De même, toute partie A de R non videe tm inorée possède un plus grand
minorant, appelé borneinférieure de A et noté inf A.
Par exemple :i nf N = 0.
Pour s’entraîner:ex. 4
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