Nombres réels
COURS
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1 Corps des nombres réels
L’ensemble des nombres réels R est supposé connu. Rappelons les principales
règles de calcul dans R.
1.1 • Addition
L’addition des réelspossède les propriétés suivantes :
• Commutativité:Pourtous réels x et y : x + y = y + x.
• Associativité :Pour tous réels x, y et z :( x + y )+z=x+(y+z).
• 0e st élément neutre :Pour tout réel x : x +0=0+x =x.
• Tout réel aunopposé : x +(−x)=(−x)+x=0.
On résume ces propriétés en disant que (R, +) est un groupe commutatif
(cf. chap. 10 :Structures algébriques usuelles).
1.2 • Multiplication
La multiplication des réels possède lespropriétés suivantes :
• Commutativité:Pourtous réels x et y : xy = yx.
• Associativité :Pour tous réels x, y et z :( xy)z = x(yz).
• 1e st élément neutre :Pour tout réel x : x · 1 = 1 · x = x.
• Toutréel non nul auninverse : x ·
1
x
=
1
x
· x = 1.
De plus, les deux opérations sont liées par la propriété suivante :
• Distributivité de la multiplication par rapport àl’addition :
Pourtous réels x, y et z : x(y + z) = xy + xz ;( y + z ) x = yx + zx.
On résume toutes ces propriétés en disant que (R, +, ×)e st un corps commutatif.
1.3 • Relation d’ordre
La comparaison des réels possède lespropriétés suivantes :
• Réflexivité :Pour tout réel x : x x.
• Antisymétrie :Pour tous réels x, y :( x yet y x) ⇒ x = y.
• Transitivité :Pour tous réels x, y et z :( x yet y z) ⇒ x z.
On dit que est une relation d’ordre.
Elle permet de comparer deux réels quelconques :p our tous réels x, y, on a
nécessairement x y ou y x. On ditque l’ordre est total.
De plus, l’ordre est compatible avec :
• l’addition : ∀(x, y, z) ∈ R
3
x y ⇒ x + z y + z
• la multiplication par les réels positifs :
∀(x, y) ∈ R
2
∀z ∈ R +
x y ⇒ xz yz
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