Polynômes
EXERCICES
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En déduirelafactorisation du polynôme :
Q = X (X + a)(X +2a)(X +3a)−8a
4
dans Q[X ], puis R[X ]e tC [ X ] ,en supposant a ∈ Q.
15
∗
Soit P ∈ C [X ]t el que P(X
2
) = P(X − 1)P(X +1).
1) Démontrerque, si α est une racine de P, il existe une
racine de P dont le module est strictement supérieur à |α|.
2) En déduirelepolynôme P.
Relations entre coefficients et racines
16 Soit a, b, c lesr acines complexes du polynôme
X
3
+ pX
2
+ qX + r ( r
= 0).
1) Calculer a
n
+ b
n
+ c
n
pour n ∈{2,3,4,−1,−2}.
2) Former le polynôme Q unitaire de degré 3d ont les
racines sont a
2
, b
2
, c
2
.
17 Factoriser le polynôme 8X
3
−12X
2
−2X +3, sachant
que ses racines sont en progression arithmétique.
18 Déterminer λ pour que la somme de deux des racines
du polynôme 2X
3
− X
2
− 7X + λ soit égale à1.
19 Déterminer λ pour que l’une des racines du polynôme X
3
− 7X + λ soit le double d’une autre.
Exerciceposé aux oraux des concours
20 (CCP 2006)
Soit P ∈ R[X ]. Montrerque :
π
0
P(e
iθ
)e
iθ
dθ = i
1
−1
P(t)dt
En déduire que si P =
n
k=0
a k X
k
,alors :
j,k
a j a k
j + k +1
π
n
k= 0
a
2
k .
229