Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Le degré de la somme de deux polynômes estl ep lus
grand des deuxdegrés.
b) Le degré du produit de deux polynômes estl as omme
des deuxdegrés.
c) Le rested el ad ivision euclidienne de A par B au n
degré strictement inférieur àcelui de B.
d) Le quotient de la divisioneuclidienne d’un polynôme de
degré n par un polynôme de degré p est un polynôme de
degré n − p.
e) Si un polynôme est divisible par deux polynômes, il est
divisible par leur produit.
f) Tout polynôme de degré n de C [X ]p ossède n racines
distinctes.
g) Le produit des racines d’un polynôme scindé unitaire de
degré n est( − 1)
n
P(0).
Algèbre des polynômes
2 Montrer que :
∀n ∈ N
∗ (X
3 + X
2 + X +1)
2 n
k= 0
(−1)
k X
k = X
2n+3 + X
2n+1 + X
2 +1
3 1) Montrer qu’il existe une unique suite de polynômes
(P n ) n∈N telle que :
P 0 = 1, P 1 = X et ∀n ∈ N P n+2 = 2XP n+1 − P n
2) Calculer les polynômes (P n )j usqu’à n = 10.
3) Montrer que
∀n ∈ N ∀x ∈ R cos nx =
P n (cos x).
4) En déduire les racines du polynôme P n .
4 Déterminer l’ensemble des polynômes P telsque :
P(X
2
) = (X
2
+1)P(X)
Divisibilité dans K [X ]
5 Effectuer la division euclidienne de A par B :
1) A = 2X
4
− 3X
3
+4X
2
−5X +6; B=X
2
−3X +1.
2) A = 2X
5
− 5X
3
− 8X ;
B = X +3.
3) A = X
3
− iX
2
− X ;
B = X − 1+i.
4) A = iX
4
− X
3
+2iX +1; B=(1 − i)X
2
+ iX +1+i.
6 Soit P ∈ K [X ]e taun élément de K.
1) Quele st le reste de la division euclidienne de P par
(X − a)?En déduire une condition nécessaire et suffisante
pourque (X − a)d ivise P.
2) Calculer en fonctiond e a , P ( a ) , P
( a )l er este de
la division euclidienned e P par (X − a)
2
. En déduire
une condition nécessaire et suffisantep our que (X − a)
2
divise P.
3) Soit b un élément de K distinct de a. Calculer en
fonction de a, b, P(a), P(b)l ereste de la division euclidienne de P par( X− a )(X −b). En déduire une condition
nécessaire et suffisante pour que (X − a)(X − b)d ivise P.
7 Àquelle condition le polynôme A = X
4
+aX
2
+bX +c
est-il divisible par B = X
2
+ X +1 ?
8 Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, le
polynôme A n = nX
n+1
− (n +1)X
n
+1 est divisible par
(X − 1)
2
. Calculer le quotient.
9 Soit θ ∈ R. Montrer que, pour tout n ∈ N
∗
, le polynôme
A n = X
n
sin θ − X sin nθ +sin(n − 1)θ estd ivisible par
X
2
− 2X cos θ +1. Calculer le quotient.
Racines d’un polynôme
10 Soit a, b, c troiséléments du corps K non nuls et
distincts deux àdeux. Démontrer que le polynôme :
P =
X (X − b)(X − c)
a(a − b)(a − c)
+
X (X − c)(X − a)
b(b − c)(b − a)
+
X (X − a)(X − b)
c(c − a)(c − b)
peut s’écrire sous la forme P = λ(X −a)(X −b)(X −c)+1 ,
où λ estune constante que l’on déterminera.
11 Factoriser dans R[X ]l es polynômes suivants, sachant
qu’ils ont une racine réelle commune :
P = X
3
− 9X
2
+26X −24 et Q = X
3
− 7X
2
+7X +15.
12 Factoriser dans C [X ], puisd ans R[X ], le polynôme: P=(X
2
−X +1)
2
+1.
13 Effectuer la division euclidienne de :
A = X
4
+6X
3
+10X
2
+3X −6p ar B = X
2
+3X.
En déduire la factorisation de A dans Q[X ], puis R[X ]
et C [X ].
14 Montrer que, pour tout a ∈ K, le polynôme de
K [X ]: P=X ( X+a )(X +2a)(X +3a)+a
4
est le carré d’un polynôme.
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1 Vraioufaux ?
a) Le degré de la somme de deux polynômes estl ep lus
grand des deuxdegrés.
b) Le degré du produit de deux polynômes estl as omme
des deuxdegrés.
c) Le rested el ad ivision euclidienne de A par B au n
degré strictement inférieur àcelui de B.
d) Le quotient de la divisioneuclidienne d’un polynôme de
degré n par un polynôme de degré p est un polynôme de
degré n − p.
e) Si un polynôme est divisible par deux polynômes, il est
divisible par leur produit.
f) Tout polynôme de degré n de C [X ]p ossède n racines
distinctes.
g) Le produit des racines d’un polynôme scindé unitaire de
degré n est( − 1)
n
P(0).
Algèbre des polynômes
2 Montrer que :
∀n ∈ N
∗ (X
3 + X
2 + X +1)
2 n
k= 0
(−1)
k X
k = X
2n+3 + X
2n+1 + X
2 +1
3 1) Montrer qu’il existe une unique suite de polynômes
(P n ) n∈N telle que :
P 0 = 1, P 1 = X et ∀n ∈ N P n+2 = 2XP n+1 − P n
2) Calculer les polynômes (P n )j usqu’à n = 10.
3) Montrer que
∀n ∈ N ∀x ∈ R cos nx =
P n (cos x).
4) En déduire les racines du polynôme P n .
4 Déterminer l’ensemble des polynômes P telsque :
P(X
2
) = (X
2
+1)P(X)
Divisibilité dans K [X ]
5 Effectuer la division euclidienne de A par B :
1) A = 2X
4
− 3X
3
+4X
2
−5X +6; B=X
2
−3X +1.
2) A = 2X
5
− 5X
3
− 8X ;
B = X +3.
3) A = X
3
− iX
2
− X ;
B = X − 1+i.
4) A = iX
4
− X
3
+2iX +1; B=(1 − i)X
2
+ iX +1+i.
6 Soit P ∈ K [X ]e taun élément de K.
1) Quele st le reste de la division euclidienne de P par
(X − a)?En déduire une condition nécessaire et suffisante
pourque (X − a)d ivise P.
2) Calculer en fonctiond e a , P ( a ) , P
( a )l er este de
la division euclidienned e P par (X − a)
2
. En déduire
une condition nécessaire et suffisantep our que (X − a)
2
divise P.
3) Soit b un élément de K distinct de a. Calculer en
fonction de a, b, P(a), P(b)l ereste de la division euclidienne de P par( X− a )(X −b). En déduire une condition
nécessaire et suffisante pour que (X − a)(X − b)d ivise P.
7 Àquelle condition le polynôme A = X
4
+aX
2
+bX +c
est-il divisible par B = X
2
+ X +1 ?
8 Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, le
polynôme A n = nX
n+1
− (n +1)X
n
+1 est divisible par
(X − 1)
2
. Calculer le quotient.
9 Soit θ ∈ R. Montrer que, pour tout n ∈ N
∗
, le polynôme
A n = X
n
sin θ − X sin nθ +sin(n − 1)θ estd ivisible par
X
2
− 2X cos θ +1. Calculer le quotient.
Racines d’un polynôme
10 Soit a, b, c troiséléments du corps K non nuls et
distincts deux àdeux. Démontrer que le polynôme :
P =
X (X − b)(X − c)
a(a − b)(a − c)
+
X (X − c)(X − a)
b(b − c)(b − a)
+
X (X − a)(X − b)
c(c − a)(c − b)
peut s’écrire sous la forme P = λ(X −a)(X −b)(X −c)+1 ,
où λ estune constante que l’on déterminera.
11 Factoriser dans R[X ]l es polynômes suivants, sachant
qu’ils ont une racine réelle commune :
P = X
3
− 9X
2
+26X −24 et Q = X
3
− 7X
2
+7X +15.
12 Factoriser dans C [X ], puisd ans R[X ], le polynôme: P=(X
2
−X +1)
2
+1.
13 Effectuer la division euclidienne de :
A = X
4
+6X
3
+10X
2
+3X −6p ar B = X
2
+3X.
En déduire la factorisation de A dans Q[X ], puis R[X ]
et C [X ].
14 Montrer que, pour tout a ∈ K, le polynôme de
K [X ]: P=X ( X+a )(X +2a)(X +3a)+a
4
est le carré d’un polynôme.
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