Polynômes
Conseils
Solution
Le polynôme Q i s’annule pour tous les
a j où j = i.
1) Le polynôme Q i est donné par : Q i (X ) =
1jn
j =i
(X − a j ), Par
conséquent, si j
= i, Q i (a j ) = 0, On ad onc, pour P =
n
i=1
α i Q i ,
P(a i ) = α i Q i (a i ),
Le polynôme P satisfait donc la conditioncherchée si et seulement si :
α i =
b i
Q i (a i )
, c’est-à-dire:
P(X)=
n
i = 1
b i
Q i (a i )
Q i (X)=
n
i = 1
b i
1 j n
j = i
(X −a j )
1 j n
j = i
(a i −a j )
Comparer une solution quelconque avec
la solution particulière trouvée àlaquestion 1).
2) Appelons P 0 le polynôme trouvé àl ap remière question. Un polynôme P quelconque est solution si et seulement si le polynôme P − P 0
admet a 1 , a 2 , ··· ,a n pour racines, c’est-à-dire s’il est divisible par Q,
L’ensemble des solutions est donc l’ensemble des polynômes de la forme:
P=P 0 +AQ
où A estu np olynôme quelconque. Comme deg P 0 = n − 1e t
deg Q = n, le degréd e P 0 +AQ est supérieur ou égal à n dès que A
estnon nul. P 0 est donc l’unique solution de degré n − 1.
Calculer les coefficients α 1 , α 2 , α 3 à
affecter aux polynômes :
Q 1 = X (X − 1),
Q 2 = (X +1)(X−1),
Q 3 = (X +1)X.
3) Construisons le polynôme P 0 de degré2tel que :
P 0 (−1) = 1, P 0 (0) = −1, P 0 (1) = −1:
P 0 ( X )=
X ( X−1)
(−1)(−1 − 1)
−
(X +1)(X − 1)
(0 +1)(0 − 1)
−
(X +1)X
(1 +1)(1)
= X
2
− X − 1
L’ensembled es solutions est donc l’ensemble des polynômes P de la
forme:
P(X)=X
2
−X −1+A(X)(X
3
− X )o ù A ∈ R [ X ]
Choisir (m +1)r éels a 1 , a 2 ,..., a m+1 ,
de préférenceentiers pour pouvoir utiliser
la propriété du polynôme P.
4) Soit m le degrédupolynôme P, Si P = 0, la propriété estévidente ;
supposonsdonc m 0, Appliquons le résultat de la question 2) avec:
a 1 =1, a 2 =2, ··· , a m+1 = m +1
P est l’unique polynôme de degré m prenantaux points 1, 2, ··· ,m+1
les valeurs entières P(1), P(2), ··· ,P(m+1). On adonc :
P(X ) =
m+1
i=1
P(i)
Q i (i)
Q i (X )
Lesp olynômes Q i sont àc oefficients entiers, les valeurs Q i (i)s ont
des entiers, tout comme les P(i);les coefficients de P sontd onc des
rationnels.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Solution
Le polynôme Q i s’annule pour tous les
a j où j = i.
1) Le polynôme Q i est donné par : Q i (X ) =
1jn
j =i
(X − a j ), Par
conséquent, si j
= i, Q i (a j ) = 0, On ad onc, pour P =
n
i=1
α i Q i ,
P(a i ) = α i Q i (a i ),
Le polynôme P satisfait donc la conditioncherchée si et seulement si :
α i =
b i
Q i (a i )
, c’est-à-dire:
P(X)=
n
i = 1
b i
Q i (a i )
Q i (X)=
n
i = 1
b i
1 j n
j = i
(X −a j )
1 j n
j = i
(a i −a j )
Comparer une solution quelconque avec
la solution particulière trouvée àlaquestion 1).
2) Appelons P 0 le polynôme trouvé àl ap remière question. Un polynôme P quelconque est solution si et seulement si le polynôme P − P 0
admet a 1 , a 2 , ··· ,a n pour racines, c’est-à-dire s’il est divisible par Q,
L’ensemble des solutions est donc l’ensemble des polynômes de la forme:
P=P 0 +AQ
où A estu np olynôme quelconque. Comme deg P 0 = n − 1e t
deg Q = n, le degréd e P 0 +AQ est supérieur ou égal à n dès que A
estnon nul. P 0 est donc l’unique solution de degré n − 1.
Calculer les coefficients α 1 , α 2 , α 3 à
affecter aux polynômes :
Q 1 = X (X − 1),
Q 2 = (X +1)(X−1),
Q 3 = (X +1)X.
3) Construisons le polynôme P 0 de degré2tel que :
P 0 (−1) = 1, P 0 (0) = −1, P 0 (1) = −1:
P 0 ( X )=
X ( X−1)
(−1)(−1 − 1)
−
(X +1)(X − 1)
(0 +1)(0 − 1)
−
(X +1)X
(1 +1)(1)
= X
2
− X − 1
L’ensembled es solutions est donc l’ensemble des polynômes P de la
forme:
P(X)=X
2
−X −1+A(X)(X
3
− X )o ù A ∈ R [ X ]
Choisir (m +1)r éels a 1 , a 2 ,..., a m+1 ,
de préférenceentiers pour pouvoir utiliser
la propriété du polynôme P.
4) Soit m le degrédupolynôme P, Si P = 0, la propriété estévidente ;
supposonsdonc m 0, Appliquons le résultat de la question 2) avec:
a 1 =1, a 2 =2, ··· , a m+1 = m +1
P est l’unique polynôme de degré m prenantaux points 1, 2, ··· ,m+1
les valeurs entières P(1), P(2), ··· ,P(m+1). On adonc :
P(X ) =
m+1
i=1
P(i)
Q i (i)
Q i (X )
Lesp olynômes Q i sont àc oefficients entiers, les valeurs Q i (i)s ont
des entiers, tout comme les P(i);les coefficients de P sontd onc des
rationnels.
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