Polynômes
Application : Ces relations permettent de calculer des fonctions symétriques des
racines, c’est-à-diredes expressions dans lesquelles toutes les racines jouent le même
rôle. Par exemple, calculons la somme des carrés des racines d’un polynôme scindé :
n
i=1
x
2
i
=
n
i=1
x i
2
− 2
1i
−
a n−1
a n
2
− 2
a n−2
a n
=
a
2
n−1 − 2a n a n−2
a 2
n
Pour s’entraîner:ex. 16 à19
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour caractériser la division euclidienned e A par B ,o né crit A = BQ + R, sans oublierl ac ondition
deg R < deg B( cf. exercices 5 et 6 ).
Pour montrer que B divise A ,onpeut:
• montrer que le reste de la division euclidienne de A par B est nul ;
• si B est scindé, montrer que toute racine d’ordre m de B est une racine d’ordre m
m de A
(cf. exercices 7 à 9 ).
Pour montrer que a est uner acine d’ordre m du polynôme P ,onp eut montrer que P estdivisible par
(X − a)
m
, mais pas par (X − a)
m+1
;
Pour démontrer des propriétésd es racines d’un polynôme scindé,o np eut utiliser l’ensemble des relations
entre coefficients et racines (cf. exercices 16 à 19 ).
...................................................................................................................................................................................................
Exercice résolu
POLYNÔMES D’INTERPOLATION DE LAGRANGE
Soit (a 1 , a 2 , ··· ,a n ) et (b 1 , b 2 , ··· ,b n ) deux n-uplets de réels. On demande de déterminer l’ensemble des
polynômesPde R[X ] qui prennent en chaque point a i la valeurb i ,
On considère le polynôme Q =
n
i=1
(X − a i ) et pour tout i ∈ [[ 1 , n ]] le polynôme Q i défini parQ=( X−a i ) Q i ,
1 Déterminer les coefficients réels α i pour quelepolynôme P =
n
i=1
α i Q i vérifiepour tout i ∈ [[ 1 , n ]] , P ( a i ) = b i ,
2 En déduire l’ensemble despolynômes vérifiant cette propriété. Quel est celui qui aleplus petit degré ?
3 Application :déterminer l’ensemble des polynômes Pt els queP ( − 1) = 1, P(0) = −1, P(1) = −1,
4 Soit Pu npolynôme tel que pour tout x ∈ Z, P(x) ∈ Z, Démontrerque les coefficients de Ps ont des rationnels.
226
Application : Ces relations permettent de calculer des fonctions symétriques des
racines, c’est-à-diredes expressions dans lesquelles toutes les racines jouent le même
rôle. Par exemple, calculons la somme des carrés des racines d’un polynôme scindé :
n
i=1
x
2
i
=
n
i=1
x i
2
− 2
1i
−
a n−1
a n
2
− 2
a n−2
a n
=
a
2
n−1 − 2a n a n−2
a 2
n
Pour s’entraîner:ex. 16 à19
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour caractériser la division euclidienned e A par B ,o né crit A = BQ + R, sans oublierl ac ondition
deg R < deg B( cf. exercices 5 et 6 ).
Pour montrer que B divise A ,onpeut:
• montrer que le reste de la division euclidienne de A par B est nul ;
• si B est scindé, montrer que toute racine d’ordre m de B est une racine d’ordre m
m de A
(cf. exercices 7 à 9 ).
Pour montrer que a est uner acine d’ordre m du polynôme P ,onp eut montrer que P estdivisible par
(X − a)
m
, mais pas par (X − a)
m+1
;
Pour démontrer des propriétésd es racines d’un polynôme scindé,o np eut utiliser l’ensemble des relations
entre coefficients et racines (cf. exercices 16 à 19 ).
...................................................................................................................................................................................................
Exercice résolu
POLYNÔMES D’INTERPOLATION DE LAGRANGE
Soit (a 1 , a 2 , ··· ,a n ) et (b 1 , b 2 , ··· ,b n ) deux n-uplets de réels. On demande de déterminer l’ensemble des
polynômesPde R[X ] qui prennent en chaque point a i la valeurb i ,
On considère le polynôme Q =
n
i=1
(X − a i ) et pour tout i ∈ [[ 1 , n ]] le polynôme Q i défini parQ=( X−a i ) Q i ,
1 Déterminer les coefficients réels α i pour quelepolynôme P =
n
i=1
α i Q i vérifiepour tout i ∈ [[ 1 , n ]] , P ( a i ) = b i ,
2 En déduire l’ensemble despolynômes vérifiant cette propriété. Quel est celui qui aleplus petit degré ?
3 Application :déterminer l’ensemble des polynômes Pt els queP ( − 1) = 1, P(0) = −1, P(1) = −1,
4 Soit Pu npolynôme tel que pour tout x ∈ Z, P(x) ∈ Z, Démontrerque les coefficients de Ps ont des rationnels.
226