Polynômes
COURS
12
Il découled ut héorème de d’Alembert-Gauss que tout polynôme de C[X ]e st
scindé.Unpolynôme de R[X ]e st donc toujours scindé dans C[X ]; il est scindé
dans R[X ]s itoutes ses racines complexes sont réelles.
5.2 • Racinesd’un polynôme scindé de degré 3
Rappelonslecalcul classique de la somme et du produit des racines d’un trinôme
du second degré.
Soit P un polynôme scindé de degré 2d e K [ X] . Désignons par x 1 , x 2 les
racines, distinctes ou non, de P. P peut s’écrire sous forme développée et sous
formefactorisée :
P = aX
2
+ bX + c = a(X − x 1 )(X − x 2 )a vec a = 0
En développant le second membre et en identifiant avec le premier, on obtient :
b = a (−x 1 − x 2 )
c = ax 1 x 2
d’où
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x 1 + x 2 = −
b
a
x 1 x 2 =
c
a
Reprenons ce calcul pour un polynôme scindé de degré 3, admettant pour racines
x 1 , x 2 , x 3 , distinctes ou non :
P = aX
3
+ bX
2
+ cX + d = a(X − x 1 )(X − x 2 )(X − x 3 )a vec a = 0
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
b = a (−x 1 − x 2 − x 3 )
c = a (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 )
d = −ax 1 x 2 x 3
d’où
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 + x 2 + x 3 = −
b
a
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
c
a
x 1 x 2 x 3 = −
d
a
5.3 • Généralisation
Généralisons au cas d’un polynôme P scindé de degré n ∈ N
∗
de K[X ].
Désignons par x 1 , ··· ,x n lesr acinesd e P , distinctes ou non (chacune étant
répétée avec son ordre de mutiplicité).
P peut s’écrire sous forme développée et sous formefactorisée, avec a n
= 0:
a n X
n
+a n − 1 X
n − 1
+···+a 1 X +a 0 = a n (X −x 1 )(X − x 2 ) ···(X −x n )
En développant le second membre et en identifiant avec le premier, on obtient :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a n−1 = a n (−x 1 − x 2 −···−x n )
a n−2 = a n (x 1 x 2 +x 1 x 3 +···x n−1 x n )
···
a 0 = a n (−1)
n
x 1 x 2 ···x n
D’où
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 + x 2 + ···+x n =
−
a n−1
a n
x 1 x 2 +x 1 x 3 +···+x n−1 x n =
a n−2
a n
···
x 1 x 2 ···x n = (−1)
n a 0
a n
La relation la plus générale donne la somme des
n
p
produits possibles de p
racines :
1i1
p a n−p
a n
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
225
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Il découled ut héorème de d’Alembert-Gauss que tout polynôme de C[X ]e st
scindé.Unpolynôme de R[X ]e st donc toujours scindé dans C[X ]; il est scindé
dans R[X ]s itoutes ses racines complexes sont réelles.
5.2 • Racinesd’un polynôme scindé de degré 3
Rappelonslecalcul classique de la somme et du produit des racines d’un trinôme
du second degré.
Soit P un polynôme scindé de degré 2d e K [ X] . Désignons par x 1 , x 2 les
racines, distinctes ou non, de P. P peut s’écrire sous forme développée et sous
formefactorisée :
P = aX
2
+ bX + c = a(X − x 1 )(X − x 2 )a vec a = 0
En développant le second membre et en identifiant avec le premier, on obtient :
b = a (−x 1 − x 2 )
c = ax 1 x 2
d’où
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x 1 + x 2 = −
b
a
x 1 x 2 =
c
a
Reprenons ce calcul pour un polynôme scindé de degré 3, admettant pour racines
x 1 , x 2 , x 3 , distinctes ou non :
P = aX
3
+ bX
2
+ cX + d = a(X − x 1 )(X − x 2 )(X − x 3 )a vec a = 0
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
b = a (−x 1 − x 2 − x 3 )
c = a (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 )
d = −ax 1 x 2 x 3
d’où
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 + x 2 + x 3 = −
b
a
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
c
a
x 1 x 2 x 3 = −
d
a
5.3 • Généralisation
Généralisons au cas d’un polynôme P scindé de degré n ∈ N
∗
de K[X ].
Désignons par x 1 , ··· ,x n lesr acinesd e P , distinctes ou non (chacune étant
répétée avec son ordre de mutiplicité).
P peut s’écrire sous forme développée et sous formefactorisée, avec a n
= 0:
a n X
n
+a n − 1 X
n − 1
+···+a 1 X +a 0 = a n (X −x 1 )(X − x 2 ) ···(X −x n )
En développant le second membre et en identifiant avec le premier, on obtient :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a n−1 = a n (−x 1 − x 2 −···−x n )
a n−2 = a n (x 1 x 2 +x 1 x 3 +···x n−1 x n )
···
a 0 = a n (−1)
n
x 1 x 2 ···x n
D’où
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 + x 2 + ···+x n =
−
a n−1
a n
x 1 x 2 +x 1 x 3 +···+x n−1 x n =
a n−2
a n
···
x 1 x 2 ···x n = (−1)
n a 0
a n
La relation la plus générale donne la somme des
n
p
produits possibles de p
racines :
1i1
p a n−p
a n
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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