COURS 12
Polynômes
Démonstration
Les racines non réellesd e P sont conjuguées deux àd eux, elles sont donc en
nombre pair. Si le nombre total de racines complexes de P est impair,lenombre
de racines réellesest impair ;iln’est donc jamais nul.
Pour s’entraîner :ex. 11 à14
APPLICATION 1
Caractérisationdes polynômes positifs de R[X ]
Soit El ’ensemble desp olynômes de R[X ] sommes de
deux carrés :
E = {P ∈ R[X ] , ∃(A, B) ∈ R[X ]
2
P = A
2
+B
2
}
1) Montrerque l’ensemble Ee st stable par multiplication.
2) Soit P = X
2
+ bX + c, avecb
2
− 4 c<0 .Montrer
que P ∈ E.
3) Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :
(1)
P ∈ E
(2)
∀x ∈ R P(x) 0
(3)
Pa un coefficient dominant positif et aucune racine réelle d’ordre impair.
Soit P = A
2
+ B
2
= |A + iB|
2
et Q = A
2
+ B
2
= |A
+ iB
|
2
deux éléments de E.
PQ = |(A + iB)(A
+ iB
)|
2
= (AA
− BB
)
2
+(AB
+ A
B)
2
Donc PQ appartientà E.
2) Écrivons P sous la forme canonique :
X
2
+ bX + c =
X +
b
2
2
+
√ 4c − b 2
2
2
P estbien la somme de deux carrés.
3) Effectuons une démonstration circulaire :
(1) ⇒ (2) :s iPest la somme de deux carrés, il est
positif sur R.
(2) ⇒ (3) :a uvoisinage d’une racine réelle d’ordre
impair, un polynômechange de signe.
Donc si P reste toujours positif,c’est que toutes ses
racines réelles sontd’ordre pair. Le signe du polynôme
est alors partoutcelui de son coefficient dominant.
(3) ⇒ (1) :s iPauncoefficient dominant positif et aucune racine réelle d’ordrei mpair, ses facteurs
irréductibles unitaires dans R[X ]s ont :
–soit des carrés de la forme (X − a)
2m
;
–soit des trinômes unitaires àdiscriminant strictement
négatif, dont on av uàl aq uestion précédente qu’ils
étaient sommes de deux carrés.
De plus,lecoefficient dominant de P est également
sommededeux carrés.
P est donc un produit d’éléments de E, donc d’après
la question 1),ilest lui-même élément de E.
Les trois propriétés sont donc équivalentes.
5 Relationsentre coefficients et racines
5.1 • Polynôme scindé
Un polynôme P ∈ K [X ]e st dit scindé,s ic ’est un produit de polynômes de
degré 1. Un polynômededegré n ( n 1)est scindé si et seulement si il possède
exactement n racinesd ans K comptées chacunea vec son ordre de multiplicité
(c’est-à-dire plus précisément, si la somme des ordres de multiplicité de ses racines
est n ).
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