Polynômes
COURS
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Karl Friedrich Gauss(1777-1855),
mathématicien, physicien et astronome
allemand.L’un des plus grands génies
des mathématiques, il s’intéressa à
l’arithmétique, aux nombrescomplexes,
àlathéorie des surfaces, aux géométries
non euclidiennes ainsi qu’aux
probabilités.
Démonstration
1) Soit P un polynôme irréductible de C[X ]. P n’estp as constant, donc il
possède au moins une racine a. P est divisible par (X − a), et commei le st
irréductible, il estassocié à( X− a ):∃ λ∈C
∗
P=λ ( X− a ) .D’où deg P = 1.
2) Soit P un polynôme de degré n 0d eC [ X ] .La décomposition de P en
produit de facteurs irréductibles estdelaforme :
P = λ(X −a 1 )
m1
(X −a 2 )
m2
···(X−a p )
mp
avec
p
k=1
m k = n et λ ∈ C
∗
,
a 1 , a 2 , ··· ,a p étant des complexes distincts 2à2.
P adonc n racines, àcondition que chaque racine a k soit comptée m k fois.
4.2 • Factorisationdans R[X ]
Soit P un polynôme de degré n 0d eR [ X] . Ppossède n racines complexes,
comptées avecleur ordre de multiplicité. Si z estune racine d’ordre m :
P(z) = P
(z) = ··· = P
(m−1)
(z) = 0e tP
( m )
( z ) = 0
En conjuguant, on obtient :
P(z ) = P
(z ) = ··· = P
(m−1)
(z ) = 0e tP
( m )
( z ) = 0
car tous ces polynômes sont àcoefficients réels.
z est donc aussiracine de P, avec le même ordre de multiplicité que z.
Lesracines complexes de P sont donc :
–soit réelles,
–soit non réelles conjuguées deux àdeux, avec le même ordre de multiplicité.
x
y
O
Doc. 1 Racines complexes d’un
polynôme àcoefficients réels.
Dans la décompositione np roduit de facteurs irréductibles de P dans C[X ],
regroupons les facteurs correspondant àdeux racines non réelles conjuguées :
(X − z)
m
(X − z )
m
= (X
2
+ bX + c)
m
, avec b = −2Re (z) , c = |z|
2
On obtient un polynôme de degré 2àcoefficients réels, irréductible dans R[X ].
Son discriminant b
2
− 4c est strictement négatif.
Le polynôme P peut donc se décomposer dans R[X ]s ous la forme :
P = λ(X − a 1 )
m1
···(X −a p )
mp
(X
2
+b 1 X +c 1 )
n1
···(X
2
+b q X +c q )
nq
où (a i ) 1ip sont les racines réelles de P, et (X
2
+ b j X + c j ) 1jq des trinômes
réels àdiscriminant strictement négatif.
Tout polynôme réel pouvant se décomposer de cette façon, il en résulte que :
Théorème 5
Les seuls polynômesirréductibles de R[X ]s ont :
–les polynômes de degré 1;
–les polynômes de degré 2àdiscriminant strictement négatif.
ATTENTION
Il ne faut pasc roire qu’un polynôme
qui n’a pas de racine réelle est nécessairement irréductible dans R[X ], par
exemple :
X
4 +1=(X
2 +1)
2 −2X
2
=(X
2 +
√ 2X+1)(X
2 −
√ 2X +1).
Corollaire 5.1
Tout polynôme de degré impair de R[X ]p ossède au moins une racine réelle.
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