COURS 12
Polynômes
3.3 • Isomorphisme entre polynômes et fonctions
polynomiales
Théorème 3
L’applicationd e K[ X]d ans K
K
, qui àu np olynôme P associe la fonction
polynomiale
P, est un morphismed eK -espaces vectoriels et d’anneaux. Si le
corps K est infini (par exemple, si K = R ou C ), ce morphismeest injectif. C’est
alors un isomorphisme de K [X ]d ans l’ensemble des fonctions polynomiales.
Démonstration
L’applicatione st un morphisme de K-espaces vectorielse td ’anneaux, car pour
tout (P, Q) ∈ K [X ]:
1=1
∀ ( α , β )∈K
2
α P+β Q=α
P+β
Q
PQ =
P
Q
Soit P et Q deux polynômes tels que
P =
Q. Alors ∀x ∈ K
P(x) =
Q(x).
Le polynôme P − Q admet tout élémentd uc orps K pour racine.S iKest
infini, P − Q aune infinité de racines, il est donc nul : P = Q. Le morphisme
P
→
P est injectif. C’est un isomorphisme de K [X ]d ans son image, c’est-à-dire
l’ensemble des fonctions polynomiales.
C’est ceti somorphisme qui permet «d’identifier »l es coefficients de deux
polynômesadmettant la même fonction polynomiale, c’est-à-dire :
∀x ∈ K
n
k=0
a k x
k
=
n
k=0
a
k x
k
⇐⇒
∀ k ∈ [[ 0 , n ]] a k = a
k
4 Factorisation dans K[X ]
4.1 • Factorisation dans C[X ]
Le corps des complexes possèdeune propriété tout àfait remarquable, àtel point
qu’elle est parfois nommée théorème fondamental de l’algèbre.E lle est plus
connue sous les noms de d’Alembert, qui l’a conjecturée, et Gauss qui l’a démontrée.
Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783),
philosophe, écrivain et mathématicien
français.
Théorème 4(théorème de d’Alembert-Gauss)
Tout polynôme nonconstant de C[X ]p ossède au moins une racine.
La démonstration, qui relève de l’analyse, estcomplètement hors-programme.
Les conséquences de ce théorème sont immédiates et très importantes dans la
pratique :
Corollaire 4.1
1) Les seuls polynômes irréductibles de C[X ]s ont les polynômes de degré 1.
2) Tout polynôme de degré n 0d eC [ X ]p ossède exactement n racines,
comptées avec leur ordre de multiplicité.
222