Polynômes
COURS
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3 Racines d’un polynôme
3.1 • Fonction polynomiale
IMPORTANT
(1) Nous verronsplus loin que cela ne
peut pas se produire avec les corps
usuels Q, R ou C.
Àunpolynôme P =
n
k=0
a k X
k
de K [X ], on peut attacher uneapplication de
K dans K :
K →
P
K
x
→
n
k=0
a k x
k
appelée fonction polynomiale associée à P. Il ne faut pasconfondre apriori le
polynôme P et la fonction
P. Dans certains corps K ,deux polynômes distincts
peuvent donnerlamême fonction polynomiale
(1)
... Cependant, pour simplifier,
on notera le plus souvent P(x)a ulieude
P(x).
3.2• Racine
Soit P ∈ K [X ]. On appelle racine de P (ou zéro)toutélément a du corps K
tel que P(a) = 0.
Théorème 2
Soit P ∈ K [X ]. Un élément a de K est une racine de P si et seulement si
(X − a)d ivise P.
Démonstration
Effectuons la division euclidiennede P par (X − a):
P=( X−a ) Q+R avec deg R < 1
Le polynôme R estd onc constant. En remplaçant X par a, on obtient
R = P(a).
On en déduit que P est divisible par (X − a)s ietseulement si P(a) = 0.
Corollaire 2.1
Un polynôme de degré n 0p ossède au plus n racines distinctes.
Démonstration
Soit P un polynôme de degré n. Supposons que P possède (n +1)r acines distinctes( a 1 , a 2 , ··· ,a n+1 ). P est divisible par (X − a i )e tcomme ces polynômes
sont premiers entre euxdeux àdeux, P est divisible par leur produit, qui est de
degré (n +1): ceci constitue une contradiction. Donc P aa up lus n racines
distinctes.
Si a estune racine de P, P peut être divisible par (X − a)
2
ou (X − a)
3
. On
appelle ordre de multiplicité de la racine a, le plus grand entier m telque P
soit divisiblepar (X − a)
m
. On appelle racine double une racined’ordre 2, racine
triple une racine d’ordre 3, etc.
Pour s’entraîner:ex. 10
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