COURS 12
Polynômes
2) Unicité
Supposonsque A = BQ +R = BQ
+R
avec deg R < deg B et deg R
< deg B.
Alors deg(R − R
) max (deg R, deg R
) < deg B.
Or R −R
= B(Q
−Q). D’oùd eg(Q
−Q) < 0, ce quisignifie que Q
−Q =
0.
On en déduit Q = Q
et R = R
.
La TI-92/Voyage 200 n’effectue pas directement la division
euclidienne de deux polynômes. Nous vous proposons pour
cela les fonctionsci-contre.
Calculatrice :
a) Degré d’un polynôme
degre(p,x)
Func
If limit(p,x, ∞) =0 Then
Return −∞
Else
limit(x*d(p,x)/p,x, ∞)
EndIf
EndFunc
b) Quotient de la division euclidienne
quotient(a,b,x)
Func
Local da,db,q
degre(a,x) → da
degre(b,x) → db
If da Return 0
Else
a/(b*x ∧ (da-db)) → q
limit(q,x, ∞) → q
q*x ∧ (da-db) → q
q+quotient(a-q*b,b,x)
EndIf
EndFunc
c) Reste de la division
reste(a,b,x)
Func
ab*quotient(a,b,x)
EndFunc
Notons que ces procédures fonctionnent aussi bien sur des polynômes àcoefficients
réels que complexes, dépendant éventuellement de paramètres.
Disposition pratique des calculs:
On peut poser une division de polynômes exactement comme une division d’entiers :
A
B
−BQ 1
Q 1
A − BQ 1
et on recommencejusqu’à l’obtention d’un reste
de degré strictement inférieur àcelui de B.
Exemple:
2X
4
−X
3
+X
2
+X −1
X
2
+X +2
−2X
4
−2X
3
−4X
2
2X
2
−3X
−3X
3
−3X
2
+X −1
+3X
3
+3X
2
+6X
7X −1
D’où2 X
4
− X
3
+ X
2
+ X − 1 = ( X
2
+ X +2)(2X
2
− 3X )+7X −1.
IMPORTANT
On voit sur cetexemple qu’une étape
de la division peut abaisser le degré de
plus d’uneunité. C’est ce qui nécessite
la récurrenceforte de la démonstration
d’existence.
Pour s’entraîner :ex. 5à9
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