Polynômes
COURS
12
2 Divisibilité dans K[X ]
2.1 • Multiples et diviseurs d’un polynôme
Commed ans Z ,o np eut définir les notions de multiple et de diviseur d’un
polynôme.
Soit (A, B) ∈ K [X ]
2
;s ’il existe C ∈ K [X ]t el que A = BC, on ditque :
• A estunmultiple de B ;
• B estundiviseur de A (ou « B divise A », notation : B|A ).
On note BK [X ]l ’ensemble des polynômes multiples de B. Nousconviendrons
de noter D(A)l ’ensemble des polynômes qui divisent A.
Les propriétés sont exactement les mêmes que pour les entiers :
1) la sommededeux multiples de B est un multiple de B ;
2) l’opposé d’un multiple de B est un multiplede B;
3) tout multiple d’un multiple de B est un multiple de B ;
4) si B divise deux polynômes, il divise leur somme ;
5) tout diviseur d’un diviseur de A est un diviseur de A ;
6) 0e st un multiple de tout polynôme. Tout polynôme divise 0.
IMPORTANT
Mais un polynôme nonn ul n’est pas
un diviseur-de-zéro... piège du vocabulaire.
2.2 • Division euclidiennedans K [X ]
Théorème 1
Soit A et B deux polynômes de K [X ]t els que B = 0.
Il existe un couple unique (Q, R)d epolynômes tels que :
A = BQ + R et deg R < deg B
Q est appelé quotient,et Rr este de la division euclidiennede A par B.
Démonstration
1) Existence
Soit p le degréd e B . Démontrons par récurrence que, pour tout n ∈ N, il
existe un couple (Q, R)p our tout polynôme A de degréstrictement inférieur à
n.
• Si deg(A) < p, le couple (O, A)c onvient :larécurrence estfondée pour tout
n p.
• Soit n un entier supérieurouégal à p tel qu’il existe un couple (Q, R)p our
toutpolynôme A de degréstrictement inférieur à n, et soit A un polynôme
de degré n. Posons A = a n X
n
+···+a 0 et B = b p X
p
+···+b 0
(b p = 0).
Soit Q 1 =
a n
b p
X
n−p
. Le monôme dominant de Q 1 B est a n X
n
, de sorte que le
polynôme A
= A − Q 1 B aundegré strictement inférieur à n. On peut donc
lui appliquer l’hypothèse de récurrence :
∃(Q, R) ∈ K [X ]
2
A
= QB + R avec deg R < p
A − Q 1 B = QB + R , d’où A = (Q 1 + Q)B + R avec deg R < p.
L’existenceest établie pour tout polynôme A de degré n doncpour tout polynômededegré strictement inférieur à n +1.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
219
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2 Divisibilité dans K[X ]
2.1 • Multiples et diviseurs d’un polynôme
Commed ans Z ,o np eut définir les notions de multiple et de diviseur d’un
polynôme.
Soit (A, B) ∈ K [X ]
2
;s ’il existe C ∈ K [X ]t el que A = BC, on ditque :
• A estunmultiple de B ;
• B estundiviseur de A (ou « B divise A », notation : B|A ).
On note BK [X ]l ’ensemble des polynômes multiples de B. Nousconviendrons
de noter D(A)l ’ensemble des polynômes qui divisent A.
Les propriétés sont exactement les mêmes que pour les entiers :
1) la sommededeux multiples de B est un multiple de B ;
2) l’opposé d’un multiple de B est un multiplede B;
3) tout multiple d’un multiple de B est un multiple de B ;
4) si B divise deux polynômes, il divise leur somme ;
5) tout diviseur d’un diviseur de A est un diviseur de A ;
6) 0e st un multiple de tout polynôme. Tout polynôme divise 0.
IMPORTANT
Mais un polynôme nonn ul n’est pas
un diviseur-de-zéro... piège du vocabulaire.
2.2 • Division euclidiennedans K [X ]
Théorème 1
Soit A et B deux polynômes de K [X ]t els que B = 0.
Il existe un couple unique (Q, R)d epolynômes tels que :
A = BQ + R et deg R < deg B
Q est appelé quotient,et Rr este de la division euclidiennede A par B.
Démonstration
1) Existence
Soit p le degréd e B . Démontrons par récurrence que, pour tout n ∈ N, il
existe un couple (Q, R)p our tout polynôme A de degréstrictement inférieur à
n.
• Si deg(A) < p, le couple (O, A)c onvient :larécurrence estfondée pour tout
n p.
• Soit n un entier supérieurouégal à p tel qu’il existe un couple (Q, R)p our
toutpolynôme A de degréstrictement inférieur à n, et soit A un polynôme
de degré n. Posons A = a n X
n
+···+a 0 et B = b p X
p
+···+b 0
(b p = 0).
Soit Q 1 =
a n
b p
X
n−p
. Le monôme dominant de Q 1 B est a n X
n
, de sorte que le
polynôme A
= A − Q 1 B aundegré strictement inférieur à n. On peut donc
lui appliquer l’hypothèse de récurrence :
∃(Q, R) ∈ K [X ]
2
A
= QB + R avec deg R < p
A − Q 1 B = QB + R , d’où A = (Q 1 + Q)B + R avec deg R < p.
L’existenceest établie pour tout polynôme A de degré n doncpour tout polynômededegré strictement inférieur à n +1.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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