COURS 12
Polynômes
Cette suite s’annule àpartir du rang égal au successeur de la somme des degrés de
A et B. Il s’agit bien d’un polynôme et :
deg(AB) = deg A +deg B
La multiplication est donc une l.c.i. dans K [X ]. Elle est commutative.
Montrons qu’elle est associative.
Soit A = (a 0 , a 1 , ···), B = (b 0 ,b 1 ,···), C = (c 0 ,c 1 ,···)t rois polynômes.
Posons (AB)C = (d 0 , d 1 , ···), A(BC ) = (e 0 , e 1 , ···).
d n =
m+k=n
i+j=m
a i b j
c k =
i+j+k=n
a i b j c k
e n =
i+p=n
a i
j+k=p
b j c k
=
i+j+k=n
a i b j c k
D’où (AB)C = A(BC ).
De plus, la multiplication admet pour élément neutre le polynôme
1 K [X ] = (1, 0, 0, ···)e telle est distributive par rapport àl’addition.
(K [X ], +, ×)e st un anneau commutatif.
3) Une multiplication externe par les réels
Soit P = (a 0 , a 1 , ···)u npolynôme. On pose α.P = (αa 0 , αa 1 , ···)
On vérifie aisément que :
(K [X ], +, ×,. )est un K-espace vectoriel.
Pourtout n ∈ N, l’ensemble des polynômes de degréinférieur ou égal à n est
un sous-espace vectoriel de K [X ], noté K n [X ].
1.3 • Notation définitive
Considéronslepolynôme X = (0, 1, 0, ···). On calcule facilement les puissances
de X :
X
0
= (1, 0, 0, 0, ···)
X
1
= (0, 1, 0, 0, ···)
X
2
= (0, 0, 1, 0, ···)
X
3
= (0, 0, 0, 1, ···)e tc.
On remarque quet out polynôme est combinaison linéaire d’un nombre fini de
polynômes X
k
(où k ∈ N):
P=( a 0 , a 1 , a 2 , ··· ,a n ,0,···) = a 0 X
0 +a 1 X +a 2 X
2 +···+a n X
n =
n
k=0
a k X
k
Nous adopterons désormais cette notation pour les polynômes. Il ne faut pas perdre
de vue que la lettre X désigne un polynôme et non un élémentducorps K.
Pour s’entraîner:ex. 2à4
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