Polynômes
COURS
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1 Ensemble K[X ]
1.1 • Définition formelle d’un polynôme
Soit K le corps R ou C.Ona ppelle polynôme àcoefficients dans K une suite
(a 0 , a 1 , ···)d ’éléments de K nulsàp artir d’un certain rang. L’ensemble des
polynômesàcoefficients dans K est noté K [X ].
Donc, par définition, deux polynômes A = (a 0 , a 1 , ···)e tB=( b 0 , b 1 , ···)
sont égaux si et seulement si leurscoefficients sont égaux, c’est-à-dire :
∀i ∈ N a i = b i
On appelle polynôme nul le polynôme dont tous les coefficientssont nuls.
On appelle degré d’un polynôme non nul A = (a 0 , a 1 , ···)l eplus grand entier n
telque a n = 0. Le coefficient a n correspondantest appelé coefficient dominant
du polynôme A. Si le coefficient dominant est 1, le polynôme est dit unitaire.
Par convention, on dit que le degré du polynôme nul est −∞. On convient que,
pour tout n ∈ N :
−∞ < n
et
(−∞)+n=n+(−∞)=−∞ ,
(−∞)+(−∞)=−∞.
1.2• Opérations dans K [X ]
On définitdans K [X ]:
1) Une addition
Soit A = (a 0 , a 1 , ···)e tB=( b 0 , b 1 , ···)d eux polynômes. On pose :
A + B = (a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , ···)
Il est clair que cette suite s’annule àpartir d’un rang au plus égal au successeur du
plus granddes degrés de A et B. Il s’agit bien d’un polynôme et :
deg(A + B) max (deg A, deg B)
L’additione st donc une l.c.i. dans K [X ]. Elle est évidemment commutative,
associative ;lepolynôme nul estélément neutre et toutpolynôme A = (a 0 , a 1 , ···)
aunopposé −A = (−a 0 , −a 1 , ···).
(K[X],+) est un groupe abélien.
2) Une multiplication interne
Soit A = (a 0 , a 1 , ···)e tB=( b 0 , b 1 , ···)d eux polynômes. On pose :
AB = (a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , ··· ,
i+j=n
a i b j ,···)
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