Espaces vectoriels
EXERCICES
11
2) Démontrer que :
(f − β Id E )(f − α Id E ) = 0
En déduire que :
Im (f − α Id E ) ⊂ Ker(f −βId E )
3) Démontrer que :
Ker(f −αId E )e tK er (f − β Id E )
sontsupplémentaires dans E.
4) On note p la projection sur Ker (f − α Id E )p arallèlementà Ker (f − β Id E ), et q la projection sur
Ker(f −βId E )p arallèlement àK er (f − α Id E ).
Démontrerque f = αp + βq.
5) En déduire que pour tout n ∈ N :
f
n
= α
n
p + β
n
q
6) On suppose que αβ
= 0.
Démontrer que f estb ijectif et calculer f
m
pour tout
m ∈ Z.
19
∗
Soit E un C-e.v.et f un endomorphisme de E tel
que f
2
= −Id E .
On pose :
F = { x ∈ E, f (x) = ix }
et
G = { x ∈ E, f (x) = −ix }
1) Montrer que F et G sont des s.e.v. supplémentaires
de E.
2) Exprimer f en fonction des projecteurs associés F et
G.
Exercices posés aux oraux des concours
20 (Petites Mines 2000)
Soit f un endomorphismed e R 2 [ X]t el que pour tout
P ∈ R 2 [X ], f(P)=P(1 − X ).
Montrer que f est une symétrie et en préciser les éléments
caractéristiques.
21 (Petites Mines 2006)
Soit
R[X ] →
Δ
R[X ]
P
→ P(X +1)−P(X)
.
1) Δ est-elle linéaire ?Déterminer Ker Δ .
2) La restriction de Δ à R n [X ]e st-elle injective ?s urjective ?
3) Déterminer P telque Δ(P) = X
3
;endéduire
n
k=1
k
3
.
4) Montrer que Δ
n
(P) =
n
k=0
n
k
P(X + k)(−1)
n−k
.
22 (Petites Mines 2007)
Soit E un espace vectoriel.
Pour k ∈ R ,onpose A k = {u ∈L(E), u
2
=ku} .
1) Déterminer unec ondition nécessaire et suffisante pour
que u ∈ A k soit inversible. Donner alorsson inverse.
2) On suppose k
= 0.Montrer que Im u = {x ∈ E ,
u(x) = kx} .M ontrer que Im u et Ker u sont supplémentaires dans E .Que peut-on dire si k = 0?
3) pour k
= 0e t( u , v )∈A k ,m ontrer que u + v ∈ A k
si, et seulement si u◦ v = v ◦ u = 0.
Montrer qu’alors Im (u + v) = Im u +I m v et
Ker(u+v)=Ker u ∩ Ker v .
215