EXERCICES
11
Espaces vectoriels
e) Ensemble des fonctions périodiques.
f) Ensemble des fonctions support borné (nulles en dehors
d’un segment).
g) Ensemble des fonctions en escalier sur [a, b].
h) Ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire sans second membre.
7 Montrerq ue la réunion de deux sous-espaces vectoriels d’un K-e.v. E est un sous-espace vectoriel de E si et
seulement si l’un est inclus dans l’autre.
8 Soit F , G, H troiss.e.v. d’un K-e.v. E.
Comparer :
a) F ∩ (G + H )e t( F ∩ G )+(F ∩H)
b) F +(G∩H)e t( F + G ) ∩ ( F + H )
Montrer que :
F ∩ (G +(F ∩H)) = (F ∩ G)+(F ∩H)
Applications linéaires
9 Les applications suivantes sont-elles R-linéaires ?
a)
R
3
→
R
2
(x, y, z)
→ (x − y, y − z)
b)
R
2
→ R
(x, y) → xy
c)
C →
R
z → Re (z)
d)
R
N
→
R
3
(u n ) → (u 0 , u 1 , u 2 )
e)
suites
convergentes
→
R
(u n )
→ lim
n→+∞
u n
10 On considère les éléments de R
2
: e 1 = (1, 0) et
e 2 = (0, 1).
1) Démontrer que tout élémentd e R
2
est combinaison
linéaire de e 1 et e 2 .
2) Soit f un endomorphismede R
2
.
Démontrer qu’il existe quatre réels a, b, c, d telsque :
∀(x, y) ∈ R
2
f (x, y) = (ax + by, cx + dy)
3) Réciproquement, vérifier que l’application f définie
ci-dessus estlinéaire, quels que soient les réels a, b, c, d.
11 Démontrer qu’il existe une application linéaire unique
de R
3
dans R
2
telleque :
f (1, 0, 0) = (0, 1) f (1, 1, 0) = (1, 0) f (1, 1, 1) = (1, 1)
Calculer f (x, y, z). Déterminer le noyau et l’imagede f.
12 Démontrer qu’il existe une application linéaire unique
de R
2
dans R
3
telleque :
f (1, 2) = (1, 1, 0)
f (2, 1) = (0, 1, 1)
Calculer f (x, y). Déterminer le noyau et l’imagede f.
13 Soit E un K-e.v. et f ∈L(E). Montrer que :
E = Im f +Ker f
⇐⇒ Im f = Im f
2
Im f ∩ Ker f = {0}⇐ ⇒Ker f = Ker f
2
Projecteurs
14 Soit E un K-e.v. et p un projecteur de E.
1) Montrerque Id E − p est un projecteur.
2) Comparer les images et les noyaux de p et Id E − p.
15 Soit E un K-e.v et u ∈L ( E) . On dit qu’un s.e.v.
F de E est stable par u si
∀x ∈ Fu ( x ) ∈ F . Soit
p un projecteur de E. Montrerque Im p et Ker p sont
stablespar u si et seulement si u commute avec p.
16 Soit E un K-e.v. et p, q deux projecteurs de E.
Montrerque :
pq = p ⇐⇒ Ker q ⊂ Ker p
pq = q ⇐⇒ Im q ⊂ Im p
17 Soit E un K-e.v. et p, q deux projecteurs de E.
1) Montrerque p + q est un projecteur si et seulement si
pq = qp = 0.
2) Montrer que, dans ce cas :
Im (p+q) = Im p⊕Im q et Ker (p+q) = Ker p∩Ker q
18
∗
Soit E un K-e.v. et f un endomorphisme de E.
On suppose qu’ilexiste deux scalaires α et β distincts tels
que :
(f − α Id E )(f − β Id E ) = 0
1) Démontrer que :
Im (f − β Id E ) ⊂ Ker(f −αId E )
214
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Espaces vectoriels
e) Ensemble des fonctions périodiques.
f) Ensemble des fonctions support borné (nulles en dehors
d’un segment).
g) Ensemble des fonctions en escalier sur [a, b].
h) Ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire sans second membre.
7 Montrerq ue la réunion de deux sous-espaces vectoriels d’un K-e.v. E est un sous-espace vectoriel de E si et
seulement si l’un est inclus dans l’autre.
8 Soit F , G, H troiss.e.v. d’un K-e.v. E.
Comparer :
a) F ∩ (G + H )e t( F ∩ G )+(F ∩H)
b) F +(G∩H)e t( F + G ) ∩ ( F + H )
Montrer que :
F ∩ (G +(F ∩H)) = (F ∩ G)+(F ∩H)
Applications linéaires
9 Les applications suivantes sont-elles R-linéaires ?
a)
R
3
→
R
2
(x, y, z)
→ (x − y, y − z)
b)
R
2
→ R
(x, y) → xy
c)
C →
R
z → Re (z)
d)
R
N
→
R
3
(u n ) → (u 0 , u 1 , u 2 )
e)
suites
convergentes
→
R
(u n )
→ lim
n→+∞
u n
10 On considère les éléments de R
2
: e 1 = (1, 0) et
e 2 = (0, 1).
1) Démontrer que tout élémentd e R
2
est combinaison
linéaire de e 1 et e 2 .
2) Soit f un endomorphismede R
2
.
Démontrer qu’il existe quatre réels a, b, c, d telsque :
∀(x, y) ∈ R
2
f (x, y) = (ax + by, cx + dy)
3) Réciproquement, vérifier que l’application f définie
ci-dessus estlinéaire, quels que soient les réels a, b, c, d.
11 Démontrer qu’il existe une application linéaire unique
de R
3
dans R
2
telleque :
f (1, 0, 0) = (0, 1) f (1, 1, 0) = (1, 0) f (1, 1, 1) = (1, 1)
Calculer f (x, y, z). Déterminer le noyau et l’imagede f.
12 Démontrer qu’il existe une application linéaire unique
de R
2
dans R
3
telleque :
f (1, 2) = (1, 1, 0)
f (2, 1) = (0, 1, 1)
Calculer f (x, y). Déterminer le noyau et l’imagede f.
13 Soit E un K-e.v. et f ∈L(E). Montrer que :
E = Im f +Ker f
⇐⇒ Im f = Im f
2
Im f ∩ Ker f = {0}⇐ ⇒Ker f = Ker f
2
Projecteurs
14 Soit E un K-e.v. et p un projecteur de E.
1) Montrerque Id E − p est un projecteur.
2) Comparer les images et les noyaux de p et Id E − p.
15 Soit E un K-e.v et u ∈L ( E) . On dit qu’un s.e.v.
F de E est stable par u si
∀x ∈ Fu ( x ) ∈ F . Soit
p un projecteur de E. Montrerque Im p et Ker p sont
stablespar u si et seulement si u commute avec p.
16 Soit E un K-e.v. et p, q deux projecteurs de E.
Montrerque :
pq = p ⇐⇒ Ker q ⊂ Ker p
pq = q ⇐⇒ Im q ⊂ Im p
17 Soit E un K-e.v. et p, q deux projecteurs de E.
1) Montrerque p + q est un projecteur si et seulement si
pq = qp = 0.
2) Montrer que, dans ce cas :
Im (p+q) = Im p⊕Im q et Ker (p+q) = Ker p∩Ker q
18
∗
Soit E un K-e.v. et f un endomorphisme de E.
On suppose qu’ilexiste deux scalaires α et β distincts tels
que :
(f − α Id E )(f − β Id E ) = 0
1) Démontrer que :
Im (f − β Id E ) ⊂ Ker(f −αId E )
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