Exercices
1 Vraioufaux ?
a) R est un espace vectoriel sur C.
b) L’ensemble des fonctions polynomiales de R dans R est
un R-espace vectoriel.
c) Un sous-espace vectoriel de E contient nécessairement
0 E .
d) La réunion de deux sous-espaces vectoriels est un sousespace vectoriel.
e) La somme de deux sous-espaces vectoriels est le plus petit
sous-espace vectoriel les contenant.
f) Si deux sous-espaces vectoriels de E sonts upplémentaires,tout vecteur de E qui n’appartient pas àl’un appartient àl’autre.
g) Si f estu ne application linéaire de E dans F ,
f (0 E ) = 0 F .
h) L’ensemble des endomorphismes d’un espace vectoriel
est un anneau pour +e t◦ .
i) La sommededeux automorphismes d’un espace vectoriel
E est un automorphismede E.
j) Si p est un projecteur, les éléments de Im p sont invariants par p.
Structured’espace vectoriel
2 L’ensemble R
2
muni des opérations+et · définies ci-dessous est-il un R-espace vectoriel ?
a)
(x, y)+(x
,y
)=(y+y
,x+x
)
α·(x,y)=(αx,αy)
b)
(x, y)+(x
,y
)=(x+x
,y+y
)
α·(x,y)=(αy,αx)
c)
(x, y)+(x
,y
)=(x+x
,y+y
)
α·(x,y)=(αx,y)
d)
(x, y)+(x
,y
)=(x+x
,y+y
)
α·(x,y)=(αx,0)
e)
(x, y)+(x
,y
)=(xx
,yy
)
α·( x,y)=( αx ,αy)
f)
(x, y)+(x
,y
)=(0, 0)
α · (x, y) = (α x, α y)
3 Soit E un R-espacevectoriel. Montrer que le produit
cartésien E × E muni de l’addition habituelle :
(x, y)+(x
,y
)=(x+x
,y+y
)
et de la multiplication externe par les complexes définie par :
(a + ib) · (x, y) = (a · x − b · y, a · y + b · x)
est un espace vectoriel sur le corps C.
(Cet espace vectoriel estappelé complexifié de E.)
Sous-espaces vectoriels
4 Les sous-ensembles suivants de R
2
sont-ils des sousespaces vectoriels ?
a) {(x, y) ∈ R
2
, x + y = 0}.
b) {(x, y) ∈ R
2
, x + y = 1}.
c) {(x, y) ∈ R
2
, xy 0}.
d) {(x, y) ∈ R
2
, x = 0}.
e) {(x, y) ∈ R
2
, x y}.
f) {(x, y) ∈ R
2
, 2x +3y=0}.
5 Les sous-ensembles suivants de R
N
sont-ils des sousespacesvectoriels ?
a) Ensemble des suites croissantes.
b) Ensemble des suites monotones.
c) Ensemble dessuites bornées.
d) Ensemble des suites convergeant vers 0.
e) Ensemble des suites périodiques.
f) Ensemble des suites arithmétiques.
g) Ensemble des suites géométriques.
h) Ensemble des suites (x n )t elles que :
∀n ∈ N x n+2 = x n+1 + x n
6 Lessous-ensembles suivants de R
R
sont-ils des sousespacesvectoriels ?
a) Ensemble des fonctionspositives.
b) Ensemble des fonctions s’annulant en 0.
c) Ensemble des fonctions continues sur R.
d) Ensemble des fonctions dérivables sur R.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
213
1 Vraioufaux ?
a) R est un espace vectoriel sur C.
b) L’ensemble des fonctions polynomiales de R dans R est
un R-espace vectoriel.
c) Un sous-espace vectoriel de E contient nécessairement
0 E .
d) La réunion de deux sous-espaces vectoriels est un sousespace vectoriel.
e) La somme de deux sous-espaces vectoriels est le plus petit
sous-espace vectoriel les contenant.
f) Si deux sous-espaces vectoriels de E sonts upplémentaires,tout vecteur de E qui n’appartient pas àl’un appartient àl’autre.
g) Si f estu ne application linéaire de E dans F ,
f (0 E ) = 0 F .
h) L’ensemble des endomorphismes d’un espace vectoriel
est un anneau pour +e t◦ .
i) La sommededeux automorphismes d’un espace vectoriel
E est un automorphismede E.
j) Si p est un projecteur, les éléments de Im p sont invariants par p.
Structured’espace vectoriel
2 L’ensemble R
2
muni des opérations+et · définies ci-dessous est-il un R-espace vectoriel ?
a)
(x, y)+(x
,y
)=(y+y
,x+x
)
α·(x,y)=(αx,αy)
b)
(x, y)+(x
,y
)=(x+x
,y+y
)
α·(x,y)=(αy,αx)
c)
(x, y)+(x
,y
)=(x+x
,y+y
)
α·(x,y)=(αx,y)
d)
(x, y)+(x
,y
)=(x+x
,y+y
)
α·(x,y)=(αx,0)
e)
(x, y)+(x
,y
)=(xx
,yy
)
α·( x,y)=( αx ,αy)
f)
(x, y)+(x
,y
)=(0, 0)
α · (x, y) = (α x, α y)
3 Soit E un R-espacevectoriel. Montrer que le produit
cartésien E × E muni de l’addition habituelle :
(x, y)+(x
,y
)=(x+x
,y+y
)
et de la multiplication externe par les complexes définie par :
(a + ib) · (x, y) = (a · x − b · y, a · y + b · x)
est un espace vectoriel sur le corps C.
(Cet espace vectoriel estappelé complexifié de E.)
Sous-espaces vectoriels
4 Les sous-ensembles suivants de R
2
sont-ils des sousespaces vectoriels ?
a) {(x, y) ∈ R
2
, x + y = 0}.
b) {(x, y) ∈ R
2
, x + y = 1}.
c) {(x, y) ∈ R
2
, xy 0}.
d) {(x, y) ∈ R
2
, x = 0}.
e) {(x, y) ∈ R
2
, x y}.
f) {(x, y) ∈ R
2
, 2x +3y=0}.
5 Les sous-ensembles suivants de R
N
sont-ils des sousespacesvectoriels ?
a) Ensemble des suites croissantes.
b) Ensemble des suites monotones.
c) Ensemble dessuites bornées.
d) Ensemble des suites convergeant vers 0.
e) Ensemble des suites périodiques.
f) Ensemble des suites arithmétiques.
g) Ensemble des suites géométriques.
h) Ensemble des suites (x n )t elles que :
∀n ∈ N x n+2 = x n+1 + x n
6 Lessous-ensembles suivants de R
R
sont-ils des sousespacesvectoriels ?
a) Ensemble des fonctionspositives.
b) Ensemble des fonctions s’annulant en 0.
c) Ensemble des fonctions continues sur R.
d) Ensemble des fonctions dérivables sur R.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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