Espaces vectoriels
Exercice résolu
ENDOMORPHISMES QUICOMMUTENT
Soit Eu nespace vectoriel sur R, ue tvdeux endomorphismes de Eq ui commutent :u◦v=v◦u .
1 Démontrer que Im ue tKer us ont stables par v, et Im v, Ker vs tables paru .
Rappel :ondit qu’un s.e.v. Fe st stable par un endomorphisme fs i: ∀x∈F , f(x)∈F.
2 On suppose de plus que E = Ker u +Ker v ; démontrer que:
Im u ⊂ Ker ve tIm v ⊂ Ker u
Conseils
Solution
Prendre x ∈ Im u et montrerq ue
v(x) ∈ Im u.
1) Soit x ∈ Im u ;i le xiste t ∈ E tel que x = u(t); on aa lors
v(x) = v ◦u (t). Comme v ◦u = u◦v, v(x) = u◦v (t) = u
v(t)
: v(x)
appartientà Im u.
Im u est doncstable par v.
Prendre x ∈ Ker u et montrer que
v(x) ∈ Ker u.
Soit x ∈ Ker u ; u(x) = 0, donc v ◦u (x) = 0. Comme v ◦u = u◦v,
u◦v (x) = 0, c’est-à-dire u
v(x)
= 0: v(x)a ppartient àK er u.
Ker u est donc stable par v.
Comme u et v jouent le même rôle, Im v et Ker v sont également
stables par u.
Prendre x ∈ Im u et montrerque x ∈
Ker v.
2) On supposeq ue E = Ker u +K er v. Soit x ∈ Im u :i le xiste
t ∈ E tel que x = u(t). Décomposons le vecteur t : t = t 1 + t 2 , avec
t 1 ∈ Ker u, t 2 ∈ Ker v.
x = u(t 1 )+u(t 2 )=u(t 2 ), puisque u(t 1 ) = 0. On aalors
v(x) = v ◦u (t 2 ) = u◦v (t 2 ) = u
v(t 2 )
= 0 ,
puisque v(t 2 ) = 0. Donc x ∈ Ker v. On amontré que Im u ⊂ Ker v.
Utiliser la symétrie entre u et v.
Comme u et v jouent le même rôle, on ademême Im v ⊂ Ker u.
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