Espaces vectoriels
Montrons que p 1 et p 2 sont des projecteurs :
p
2
1 =
1
4
(Id E +2s+s
2
)=
1
2
(Id E + s) = p 1
et
p
2
2 =
1
4
(Id E − 2s + s
2
) =
1
2
(Id E − s) = p 2
Par ailleurs, p 1 + p 2 = Id E :s ip 1 est la projection sur F parallèlement à G,
p 2 est la projection sur G parallèlement à F . Or s = p 1 − p 2 .
s est donc la symétrie parrapport à F parallèlementà G.
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerque (E, +, ·) est un espacevectoriel :
• s’il s’agit de lois tout àfait nouvelles, il faut vérifier :
–q ue (E, +) est un groupe abélien,
–q ue la loi externe vérifie les points EV1, EV2, EV3, EV4 de la définition (cf. exercices 2 et 3) ;
• s’il s’agit de la restriction à E des loisd’un espace vectoriel E contenant E, il suffit de vérifierque E est
un sous-espace vectorielde E (voir ci-après).
Pour montrer qu’une partie F d’un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E ,onpeut:
• vérifier que F est nonvide et stable par combinaison linéaire (cf. exercices 4 à 6) ;
• montrerque F est le sous-espace vectoriel engendré par une famille, c’est-à-dire l’ensemble des combinaisons
linéaires des éléments de cette famille(cf. exercice 4) ;
• montrerque F est le noyau ou l’imaged’une application linéaire ;
• montrerque F est une intersection de sous-espaces vectoriels ;
• montrer que F est une somme de sous-espaces vectoriels.
Pour montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont supplémentaires,onpeut:
• montrer que F + G = E et F ∩ G = {0} ;
• montrer que tout élément de E se décompose de façon unique en somme d’un élémentde F et d’un élément
de G (cf.Application 1) .
Pour montrerqu’un endomorphisme p de E est un projecteur,onpeut:
• montrer que p◦ p = p (cf. exercices 14 et 17 ) ;
• montrer que Im p et Ker p sont supplémentaires et que :
∀x ∈ Im pp ( x ) = x
Pour montrer qu’un endomorphisme s de E est une symétrie,onpeut:
• montrer que s ◦ s = Id E ;
• montrer que Ker (s − Id E )e tK er (s +Id E )s ont supplémentaires.
...................................................................................................................................................................................................
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
211
Montrons que p 1 et p 2 sont des projecteurs :
p
2
1 =
1
4
(Id E +2s+s
2
)=
1
2
(Id E + s) = p 1
et
p
2
2 =
1
4
(Id E − 2s + s
2
) =
1
2
(Id E − s) = p 2
Par ailleurs, p 1 + p 2 = Id E :s ip 1 est la projection sur F parallèlement à G,
p 2 est la projection sur G parallèlement à F . Or s = p 1 − p 2 .
s est donc la symétrie parrapport à F parallèlementà G.
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerque (E, +, ·) est un espacevectoriel :
• s’il s’agit de lois tout àfait nouvelles, il faut vérifier :
–q ue (E, +) est un groupe abélien,
–q ue la loi externe vérifie les points EV1, EV2, EV3, EV4 de la définition (cf. exercices 2 et 3) ;
• s’il s’agit de la restriction à E des loisd’un espace vectoriel E contenant E, il suffit de vérifierque E est
un sous-espace vectorielde E (voir ci-après).
Pour montrer qu’une partie F d’un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E ,onpeut:
• vérifier que F est nonvide et stable par combinaison linéaire (cf. exercices 4 à 6) ;
• montrerque F est le sous-espace vectoriel engendré par une famille, c’est-à-dire l’ensemble des combinaisons
linéaires des éléments de cette famille(cf. exercice 4) ;
• montrerque F est le noyau ou l’imaged’une application linéaire ;
• montrerque F est une intersection de sous-espaces vectoriels ;
• montrer que F est une somme de sous-espaces vectoriels.
Pour montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont supplémentaires,onpeut:
• montrer que F + G = E et F ∩ G = {0} ;
• montrer que tout élément de E se décompose de façon unique en somme d’un élémentde F et d’un élément
de G (cf.Application 1) .
Pour montrerqu’un endomorphisme p de E est un projecteur,onpeut:
• montrer que p◦ p = p (cf. exercices 14 et 17 ) ;
• montrer que Im p et Ker p sont supplémentaires et que :
∀x ∈ Im pp ( x ) = x
Pour montrer qu’un endomorphisme s de E est une symétrie,onpeut:
• montrer que s ◦ s = Id E ;
• montrer que Ker (s − Id E )e tK er (s +Id E )s ont supplémentaires.
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Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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