COURS 11
Espaces vectoriels
5.2 • Caractérisation d’un projecteur
Théorème 11
Un endomorphisme p d’un K-espace vectoriel E est un projecteur si et seulement si p◦ p = p.
Démonstration
1) Si p est la projection sur F parallèlement à G, pourt out x = x 1 + x 2
avec x 1 ∈ F et x 2 ∈ G, p(x) = x 1 et p◦p (x) = p(x 1 ) = x 1 = p(x); d’où
p◦ p = p.
2) Soit p un endomorphismede E tel que p◦ p = p. Montrons queI mpet
Ker p sont supplémentaires et que p est la projection sur Im p parallèlement à
Ker p.
Soit x ∈ E, x = p(x)+
x−p(x)
. Or p(x) ∈ Im p et x − p(x) ∈ Ker p, car
p(x − p(x)) = p(x) − p◦p (x) = 0; donc E = Im p +Ker p.
Soit x ∈ Im p ∩ Ker p. Comme x ∈ Im p, il existe t ∈ E tel que x = p(t).
Comme x ∈ Ker p, p(x) = 0. Or p(x) = p◦p (t) = p(t) = x, d’où x = 0;
donc Im p ∩ Ker p = {0}. Im p et Ker p sont bien supplémentaires ;l a
projection sur Im p parallèlementà Ker p est l’application x
→ p(x), c’est-àdire p.
Pours’entraîner :ex. 14 à19
5.3• Symétrie
x 2
−x 2
F F
G G
sx ()
x
x 1
Doc. 4 Symétrie vectorielle.
F et G étantt oujours des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E, on
appelle symétrie parrapport à F parallèlementà G, l’application s de E dans
E qui, à x = x 1 + x 2 (x 1 ∈ F , x 2 ∈ G)a ssocie x 1 − x 2 (Doc. 8).
Si l’on désignepar p 1 la projection sur F parallèlementà G, et par p 2 la projection sur G parallèlementà F, alors s = p 1 −p 2 . s est donc un endomorphisme
de E.
x ∈ Ker s ⇐⇒ x 1 − x 2 = 0 ⇐⇒ x 1 = x 2 = 0 ⇐⇒ x = 0:
Ker s = {0}, s est injectif.
∀x ∈ Ex = x 1 + x 2 = s ( x 1 − x 2 ): Im s = E, s estsurjectif.
Unesymétrie estdonc un automorphisme de E.
5.4 • Caractérisationd’une symétrie
Théorème 12
Un endomorphisme s d’un K-espace vectoriel E est une symétrie si et seulement s’il estinvolutif, c’est-à-dire : s ◦ s = Id E .
Démonstration
1) Si s estlasymétrie par rapport à F parallèlementà G, pour tout x = x 1 + x 2
avec x 1 ∈ F et x 2 ∈ G, s(x) = x 1 − x 2 et s ◦s (x) = x 1 + x 2 = x ;d ’où
s ◦ s = Id E .
2) Soit s un endomorphismede E tel que s ◦ s = Id E . Posons p 1 =
1
2
(Id E + s)
et p 2 =
1
2
(Id E − s).
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Espaces vectoriels
5.2 • Caractérisation d’un projecteur
Théorème 11
Un endomorphisme p d’un K-espace vectoriel E est un projecteur si et seulement si p◦ p = p.
Démonstration
1) Si p est la projection sur F parallèlement à G, pourt out x = x 1 + x 2
avec x 1 ∈ F et x 2 ∈ G, p(x) = x 1 et p◦p (x) = p(x 1 ) = x 1 = p(x); d’où
p◦ p = p.
2) Soit p un endomorphismede E tel que p◦ p = p. Montrons queI mpet
Ker p sont supplémentaires et que p est la projection sur Im p parallèlement à
Ker p.
Soit x ∈ E, x = p(x)+
x−p(x)
. Or p(x) ∈ Im p et x − p(x) ∈ Ker p, car
p(x − p(x)) = p(x) − p◦p (x) = 0; donc E = Im p +Ker p.
Soit x ∈ Im p ∩ Ker p. Comme x ∈ Im p, il existe t ∈ E tel que x = p(t).
Comme x ∈ Ker p, p(x) = 0. Or p(x) = p◦p (t) = p(t) = x, d’où x = 0;
donc Im p ∩ Ker p = {0}. Im p et Ker p sont bien supplémentaires ;l a
projection sur Im p parallèlementà Ker p est l’application x
→ p(x), c’est-àdire p.
Pours’entraîner :ex. 14 à19
5.3• Symétrie
x 2
−x 2
F F
G G
sx ()
x
x 1
Doc. 4 Symétrie vectorielle.
F et G étantt oujours des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E, on
appelle symétrie parrapport à F parallèlementà G, l’application s de E dans
E qui, à x = x 1 + x 2 (x 1 ∈ F , x 2 ∈ G)a ssocie x 1 − x 2 (Doc. 8).
Si l’on désignepar p 1 la projection sur F parallèlementà G, et par p 2 la projection sur G parallèlementà F, alors s = p 1 −p 2 . s est donc un endomorphisme
de E.
x ∈ Ker s ⇐⇒ x 1 − x 2 = 0 ⇐⇒ x 1 = x 2 = 0 ⇐⇒ x = 0:
Ker s = {0}, s est injectif.
∀x ∈ Ex = x 1 + x 2 = s ( x 1 − x 2 ): Im s = E, s estsurjectif.
Unesymétrie estdonc un automorphisme de E.
5.4 • Caractérisationd’une symétrie
Théorème 12
Un endomorphisme s d’un K-espace vectoriel E est une symétrie si et seulement s’il estinvolutif, c’est-à-dire : s ◦ s = Id E .
Démonstration
1) Si s estlasymétrie par rapport à F parallèlementà G, pour tout x = x 1 + x 2
avec x 1 ∈ F et x 2 ∈ G, s(x) = x 1 − x 2 et s ◦s (x) = x 1 + x 2 = x ;d ’où
s ◦ s = Id E .
2) Soit s un endomorphismede E tel que s ◦ s = Id E . Posons p 1 =
1
2
(Id E + s)
et p 2 =
1
2
(Id E − s).
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