Espaces vectoriels
COURS
11
4.4 • Anneau des endomorphismes
Soit E un K-espace vectoriel.D ’après le théorème 5, (L(E), +, · )e st un
K-espace vectoriel;en particulier,( L ( E ) , +) est un groupe abélien.
La composition des applications est une loi de composition interned ans L(E).
Cette opération estassociative. Elle possède un élément neutre qui est l’identité de
E :e neffet, Id E ∈L(E)e t∀ u∈L(E) u◦Id E = Id E ◦ u = u.
D’aprèslethéorème 9, la composition des applications est également distributive
par rapport àl’addition. On en déduit que (L(E), +, ◦)e st un anneau.
Nous pouvonsdonc énoncer :
Théorème 10
Si E estu nK -espace vectoriel, l’ensemble de ses endomorphismes L(E)e st
un anneau.
On pourra calculer dans cet anneau presquea ussi facilement que dans celui des
nombres complexes ou celui des polynômes. On adoptera, le plus souvent, une
simple notation multiplicative pourl ac omposition des applications dans L(E),
c’est-à-dire que l’on écrira uv pour u◦ v et u
3
pour u◦u◦u .
Il faudra seulementp rendre garde que l’anneau L(E)n ’est, en général, pas
commutatif (par exemple :( u + v )
2
=u
2
+ uv + vu + v
2
et non pas u
2
+2uv + v
2
).
Rappelons que la formule du binôme ne s’applique dans un anneau qu’à deux
éléments qui commutent.
Par ailleurs, on notera que l’égalité v ◦ u = 0n ’implique pas nécessairement que
u = 0o uv=0( cf. Application 2).
L’ensemble des éléments inversibles de l’anneau L(E)e st l’ensemble des automorphismes de E. C’estungroupe pour la composition des applications, appelé
groupe linéaire de E et noté GL(E):
GL(E) = {u ∈L(E), ∃u
− 1
∈L(E) uu
−1
= u
−1
u = Id E }
Pour s’entraîner:ex. 13
5 Projecteursetsymétries
5.1 • Projection
x 2
F
G
x
x= px
1
()
Doc. 3 Projection vectorielle.
Soit E un K-espace vectoriel et F , G deuxsous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On sait que tout élément x de E peut s’écrire de façon unique
x = x 1 + x 2 , où x 1 ∈ F et x 2 ∈ G (Doc. 7).
On appelle projection sur F parallèlementà G l’application p de E dans E,
qui à x associe x 1 . On dit aussi que p estunprojecteur.
On montre facilement que p est un endomorphisme de E et que :
Im p = F ;K er p = G
Notons également que ∀x ∈ Fp ( x ) = x .
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
209
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4.4 • Anneau des endomorphismes
Soit E un K-espace vectoriel.D ’après le théorème 5, (L(E), +, · )e st un
K-espace vectoriel;en particulier,( L ( E ) , +) est un groupe abélien.
La composition des applications est une loi de composition interned ans L(E).
Cette opération estassociative. Elle possède un élément neutre qui est l’identité de
E :e neffet, Id E ∈L(E)e t∀ u∈L(E) u◦Id E = Id E ◦ u = u.
D’aprèslethéorème 9, la composition des applications est également distributive
par rapport àl’addition. On en déduit que (L(E), +, ◦)e st un anneau.
Nous pouvonsdonc énoncer :
Théorème 10
Si E estu nK -espace vectoriel, l’ensemble de ses endomorphismes L(E)e st
un anneau.
On pourra calculer dans cet anneau presquea ussi facilement que dans celui des
nombres complexes ou celui des polynômes. On adoptera, le plus souvent, une
simple notation multiplicative pourl ac omposition des applications dans L(E),
c’est-à-dire que l’on écrira uv pour u◦ v et u
3
pour u◦u◦u .
Il faudra seulementp rendre garde que l’anneau L(E)n ’est, en général, pas
commutatif (par exemple :( u + v )
2
=u
2
+ uv + vu + v
2
et non pas u
2
+2uv + v
2
).
Rappelons que la formule du binôme ne s’applique dans un anneau qu’à deux
éléments qui commutent.
Par ailleurs, on notera que l’égalité v ◦ u = 0n ’implique pas nécessairement que
u = 0o uv=0( cf. Application 2).
L’ensemble des éléments inversibles de l’anneau L(E)e st l’ensemble des automorphismes de E. C’estungroupe pour la composition des applications, appelé
groupe linéaire de E et noté GL(E):
GL(E) = {u ∈L(E), ∃u
− 1
∈L(E) uu
−1
= u
−1
u = Id E }
Pour s’entraîner:ex. 13
5 Projecteursetsymétries
5.1 • Projection
x 2
F
G
x
x= px
1
()
Doc. 3 Projection vectorielle.
Soit E un K-espace vectoriel et F , G deuxsous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On sait que tout élément x de E peut s’écrire de façon unique
x = x 1 + x 2 , où x 1 ∈ F et x 2 ∈ G (Doc. 7).
On appelle projection sur F parallèlementà G l’application p de E dans E,
qui à x associe x 1 . On dit aussi que p estunprojecteur.
On montre facilement que p est un endomorphisme de E et que :
Im p = F ;K er p = G
Notons également que ∀x ∈ Fp ( x ) = x .
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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