COURS 11
Espaces vectoriels
Démonstration
Soit (α, β) ∈ K
2
et (x, y) ∈ E
2
.
g ◦f (αx + βy) = g(f (αx + βy)) = g
α f (x)+βf(y)
(linéarité de f )
= α g
f (x)
+ β g
f (y)
(linéarité de g)
= α g ◦f (x)+βg◦f (y)
d’où g ◦ f ∈L(E,G).
Théorème 8
Soit E et F deux espaces vectoriels sur le même corps K.Laréciproque d’un
isomorphisme de E dans F est un isomorphismede F dans E.
Démonstration
Soit( α , β )∈K
2
et (y 1 , y 2 ) ∈ F
2
.
α y 1 + β y 2 = α f
f
−1
(y 1 )
+ β f
f
−1
(y 2 )
= f
α f
−1
(y 1 )+βf
− 1
(y 2 )
(linéarité de f )
donc f
−1
(α y 1 +β y 2 ) = α f
−1
(y 1 )+β f
−1
(y 2 ), ce qui signifie que f
−1
∈L(F,E).
IMPORTANT
On dit que l’application:
L(F,G)×L(E,F)→L(E,G)
(g,f)
→ g ◦ f
est bilinéaire.
Théorème 9
Soit E, F et G trois K-espaces vectoriels. Lesapplications suivantes :
L(E, F ) →L ( E , G )
f
→
g ◦ f
et
L(F , G) →L ( E , G )
g
→
g ◦ f
sontlinéaires ;c’est-à-dire que pour tout (α, β) ∈ K
2
:
∀(f 1 , f 2 ) ∈L(E,F)
2
∀g∈L(F,G) g◦(αf 1 +βf 2 )=α(g◦f 1 )+β(g◦f 2 )
∀f ∈L(E,F) ∀(g 1 ,g 2 )∈L(F,G)
2
(αg 1 +βg 2 )◦f =α(g 1 ◦f)+β(g 2 ◦f)
Démonstration
Soit x ∈ E :
g ◦(α f 1 + β f 2 )(x)=g(αf 1 (x)+βf 2 (x)) = α g
f 1 (x)
+ β g
f 2 (x)
(linéaritédeg)
=αg◦f 1 (x)+βg◦f 2 (x)=
αg◦f 1 +βg◦f 2
(x)
(La linéarité de f n’intervient pas.)
(α g 1 + β g 2 )◦f (x) = (α g 1 + β g 2 )
f (x)
= α g 1
f (x)
+ β g 2
f (x)
= α g 1 ◦f (x)+βg 2 ◦f (x)=
αg 1 ◦f +βg 2 ◦f
(x)
(Dans ce sens, ni la linéarité de f , ni cellede g n’interviennent.)
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