Espaces vectoriels
COURS
11
IMPORTANT
Pour montrer qu’une partie d’un espace vectoriele st un sous-espace vectoriel,o np ourra encore montrer que
c’est le noyau ou l’image d’une certaine application linéaire.
• Dans l’exemplec ité plus haut,
{(x, y, z) ∈ R
3 , x + y + z = 0} est le
noyau de la forme linéaire définie sur
R
3 :
(x, y, z) → x + y + z
c’est donc un sous-espace vectoriel de
R
3 .
• L’ensembled es fonctions de R
dans R possédant des primitives est
l’image de l’application linéaire de l’espace vectorieldes fonctions dérivables
dans R
R : f → f
;c ’estdoncu n
sous-espace vectoriel de R
R .
Démonstration
1) Ker f estnon vide, car f (0 E ) = 0 F , donc0 E ∈Ker f .
Montrons queK er f est stable par combinaison linéaire. Soit (x, y) ∈ (Ker f )
2
,
et (α, β) ∈ K
2
, f (x) = f (y) = 0 F ;d ’où :
f (αx + βy) = αf (x)+βf(y)=0 F
donc : αx + βy ∈ Ker f .
2) Im f est non vide,car f (0 E ) = 0 F , donc0 F ∈Im f .
Montrons que Im f est stable par combinaison linéaire.Soit (y 1 , y 2 ) ∈ (Im f )
2
,
et (α, β) ∈ K
2
, ∃(x 1 , x 2 ) ∈ E
2
y 1 = f (x 1 ) , y 2 = f (x 2 ); d’où :
αy 1 + βy 2 = α f (x 1 )+βf(x 2 )=f(αx 1 +βx 2 )
donc αy 1 + βy 2 ∈ Im f .
3) Si f est injective, f (x) = f (0 E ) ⇒ x = 0 E , doncK er f = {0 E }.
Réciproquement, supposons que Ker f = {0 E }. Soit (x, y) ∈ E
2
telq ue
f (x) = f (y). Alors f (x − y) = 0 F , donc x − y ∈ Ker f et, parc onséquent,
x − y = 0 E . f est donc injective.
4) La surjectivité de f équivaut, par définition,à Im f = F .
APPLICATION 2
Une équivalence très utile : g ◦ f = 0 ⇐⇒ Im f ⊂ Ker g
Soit E, Fe tGtrois K-espacesvectoriels,
f ∈L(E,F) et g ∈L(F,G).
Démontrer que:
g◦f =0
⇐⇒
Im f ⊂ Ker g
1) Supposons g ◦ f = 0e tsoit y ∈ Im f . Il existe
x ∈ E tel que y = f (x). Alors g(y) = g ◦ f (x) = 0 G ,
donc y ∈ Ker g ;d ’où Im f ⊂ Ker g.
2) Supposons Im f ⊂ Ker g.
Pour tout x ∈ E,
f (x) ∈ Im f ,
donc g ◦ f (x) = g
f (x)
= 0 G , et,p ar conséquent,
g ◦ f = 0.
En particulier, si f est un endomorphisme d’un espacevectoriel E :
f ◦ f = 0
⇐⇒
Im f ⊂ Ker f
Pour s’entraîner :ex. 11 et 13
4.3 • Composition desapplications linéaires
Théorème 7
Soit E, F , G troisespaces vectoriels sur le même corps K, f une application
linéaire de E dans F et g une application linéaire de F dans G.
g ◦ f est une application linéaire de E dans G.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
207
COURS
11
IMPORTANT
Pour montrer qu’une partie d’un espace vectoriele st un sous-espace vectoriel,o np ourra encore montrer que
c’est le noyau ou l’image d’une certaine application linéaire.
• Dans l’exemplec ité plus haut,
{(x, y, z) ∈ R
3 , x + y + z = 0} est le
noyau de la forme linéaire définie sur
R
3 :
(x, y, z) → x + y + z
c’est donc un sous-espace vectoriel de
R
3 .
• L’ensembled es fonctions de R
dans R possédant des primitives est
l’image de l’application linéaire de l’espace vectorieldes fonctions dérivables
dans R
R : f → f
;c ’estdoncu n
sous-espace vectoriel de R
R .
Démonstration
1) Ker f estnon vide, car f (0 E ) = 0 F , donc0 E ∈Ker f .
Montrons queK er f est stable par combinaison linéaire. Soit (x, y) ∈ (Ker f )
2
,
et (α, β) ∈ K
2
, f (x) = f (y) = 0 F ;d ’où :
f (αx + βy) = αf (x)+βf(y)=0 F
donc : αx + βy ∈ Ker f .
2) Im f est non vide,car f (0 E ) = 0 F , donc0 F ∈Im f .
Montrons que Im f est stable par combinaison linéaire.Soit (y 1 , y 2 ) ∈ (Im f )
2
,
et (α, β) ∈ K
2
, ∃(x 1 , x 2 ) ∈ E
2
y 1 = f (x 1 ) , y 2 = f (x 2 ); d’où :
αy 1 + βy 2 = α f (x 1 )+βf(x 2 )=f(αx 1 +βx 2 )
donc αy 1 + βy 2 ∈ Im f .
3) Si f est injective, f (x) = f (0 E ) ⇒ x = 0 E , doncK er f = {0 E }.
Réciproquement, supposons que Ker f = {0 E }. Soit (x, y) ∈ E
2
telq ue
f (x) = f (y). Alors f (x − y) = 0 F , donc x − y ∈ Ker f et, parc onséquent,
x − y = 0 E . f est donc injective.
4) La surjectivité de f équivaut, par définition,à Im f = F .
APPLICATION 2
Une équivalence très utile : g ◦ f = 0 ⇐⇒ Im f ⊂ Ker g
Soit E, Fe tGtrois K-espacesvectoriels,
f ∈L(E,F) et g ∈L(F,G).
Démontrer que:
g◦f =0
⇐⇒
Im f ⊂ Ker g
1) Supposons g ◦ f = 0e tsoit y ∈ Im f . Il existe
x ∈ E tel que y = f (x). Alors g(y) = g ◦ f (x) = 0 G ,
donc y ∈ Ker g ;d ’où Im f ⊂ Ker g.
2) Supposons Im f ⊂ Ker g.
Pour tout x ∈ E,
f (x) ∈ Im f ,
donc g ◦ f (x) = g
f (x)
= 0 G , et,p ar conséquent,
g ◦ f = 0.
En particulier, si f est un endomorphisme d’un espacevectoriel E :
f ◦ f = 0
⇐⇒
Im f ⊂ Ker f
Pour s’entraîner :ex. 11 et 13
4.3 • Composition desapplications linéaires
Théorème 7
Soit E, F , G troisespaces vectoriels sur le même corps K, f une application
linéaire de E dans F et g une application linéaire de F dans G.
g ◦ f est une application linéaire de E dans G.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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