COURS 11
Espaces vectoriels
Théorème 5
Soit E et F deux K-espacesvectoriels.
L (E, F )e st un sous-espace vectoriel de F
E
.
Démonstration
L’application nulle est linéaire.
Toutecombinaison linéaire d’applications linéaires estlinéaire :
Soit (f , g) ∈L(E,F)
2
et (λ, μ) ∈ K
2
∀(x, y) ∈ E
2
∀(α, β) ∈ K
2
(λ f + μ g)(αx + βy) = λ f (αx + βy)+μg(αx+βy)
=λ(αf(x)+βf(y)) + μ (αg(x)+βg(y)) (linéarité de f et g)
= α
λ f (x)+μg(x)
+β
λf(y)+μg(y)
=α(λf +μg)(x)+β(λf +μg)(y)
donc λf + μg estlinéaire.
Cas particuliers
IMPORTANT
Voirauparagraphe 4.4lastructure de
groupe de cet ensemble.
On appelle:
• Endomorphisme de E, une application linéaire de E dans E. L’ensemble
des endomorphismes de E est noté L(E)o uL K ( E ) .C’est un sous-espace
vectoriel de E
E
.
• Isomorphisme,une application linéaire bijective.
• Automorphisme de E, une applicationlinéaire bijective de E dans E.
L’ensemble des automorphismesde E est noté GL(E).
• Forme linéaire sur E, une application linéaire de E dans K.L’ensemble des
formes linéairess ur E est noté E
∗
. C’est un sous-espace vectoriel de K
E
,
appelé espace dual de E.
k étantu ns calaire non nul, l’application kId E est un automorphisme de E,
appelé homothétie de rapport k.
Pours’entraîner :ex. 9et10
4.2• Noyau et image d’une application linéaire
Soit f ∈L ( E,F) . On appelle noyau de f l’ensembled es antécédents de 0 F
dans E. On le note Ker f :
Ker f = {x ∈ E , f (x) = 0 F } = f
−1
({0 F })
On appelle image de f l’ensemble des éléments de F qui ont un antécédent par
f dans E. On le note Im f :
Im f = {y ∈ F , ∃x ∈ Ef ( x ) = y } = f ( E )
Théorème 6
Soit E et F deux K-espacesvectoriels et f uneapplication linéaire de E dans
F .
1) Ker f estunsous-espace vectoriel de E.
2) Im f est un sous-espace vectoriel de F .
3) f est injective si et seulement si Ker f = {0 E }.
4) f est surjective si et seulement si Im f = F .
206