Espaces vectoriels
COURS
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3.4 • Intersection de deux sous-espaces affines
Théorème 4
Soit E un espace vectorielsur le corps K. L’intersection de deux sous-espaces
affines W et W
est soit vide, soit un sous-espace affine dont la direction est
l’intersection des directions de W et W
.
Démonstration
Il est clair que W ∩ W
peut être vide (par exempledeux droites non coplanaires
de l’espace).
Supposonsque W ∩W
= ∅, et considéronsunélément A de cette intersection.
− →
W ∩
−→
W
est un sous-espace vectoriel de E. Pour tout point M de E :
M ∈ W ∩ W
⇐⇒
M ∈ W et M ∈ W
⇐⇒
−−→
AM ∈
− →
W et
−−→
AM ∈
−→
W
⇐⇒
−−→
AM ∈
− →
W ∩
−→
W
Donc : W ∩ W
= A +
− →
W ∩
−→
W
.
W ∩ W
est le sous-espace affine contenant A de direction
− →
W ∩
−→
W
.
4 Applications linéaires
4.1 • Morphisme d’espaces vectoriels
ATTENTION
La linéarité d’une application donnée
peut dépendre du corps K.
S’il yaambiguïté, on dira que f est
K-linéaire.
Par exemple, l’application :
C → C
z
→ z
est R-linéaire,mais
elle n’est pas C-linéaire.
Soit E et F deux espaces vectoriels surl em ême corps K.Une application f
de E dans F estdite linéaire,s ic’est un morphisme pour chacune des deux lois
+e t ·,c’est-à-dire :
1) ∀(x, y) ∈ E
2
f (x + y) = f (x)+f(y)
2) ∀α ∈ K ∀x ∈ Ef ( α x ) = α f ( x )
ce qui équivaut àl’unique égalité :
∀(α, β) ∈ K
2
∀(x, y) ∈ E
2
f (αx + βy) = α f (x)+βf(y)
Une application linéaire f de E dans F est, en particulier, un morphisme de
groupesde( E , +) dans (F , +) ;o nadonc :
f (0 E ) = 0 F
∀x ∈ Ef ( − x ) = − f ( x )
L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L K (E, F )o u
L ( E , F )s ’il n’y apas d’ambiguïté.
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