COURS 11
Espaces vectoriels
Il en résulteque l’ensemble des translations de E est un sous-groupe du groupe
des bijections de E dans E ;l egroupe des translations est abélien.
3.2 • Sous-espace affine
Soit E un espace vectoriel sur le corps K. On appelle sous-espace affine de E
l’imaged’un sous-espace vectoriel par une translation. Si W est l’image du sousespace vectoriel F par la translation de vecteur a, pour tout x ∈ F , a + x ∈ W ,
et pour tout y ∈ W , y − a ∈ F . W est doncl ’ensemble des éléments de E
obtenus en ajoutantà a un vecteur quelconque de F ;o nécrit : W = a + F .
Il en résulteque le sous-espace vectoriel F est unique :c’est l’ensemble des vecteurs
de la forme y − a où y ∈ W ;o nl’appelle direction du sous-espace affine W .
On peut le noter : F =
− →
W .
En revanche a n’est pas unique :cepeut être en faitn’importe quel élément de
W .
Exemples :
• Un singleton {a} est un sous-espace affine, de direction {0 E }.
• En géométrie, une droite passant par le point A, dirigée par le vecteur u non
nul, est un sous-espace affine de direction Vect( u).
• Un planpassant par le point A, dirigé par les vecteurs u,, vnon colinéaires,
est un sous-espace affine de direction Vect( u,, v).
• En analyse, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire
y
+ a(t)y = b(t)e st un sous-espace affine de l’espace des fonctions dérivables, dont la direction estl’ensemble des solutions de l’équation sans second
membre : y
+ a(t)y = 0( de même pour une équation différentielle linéaire
du second ordre).
Par analogie avec les deux premiers exemples,onconsidérera souvent les éléments
d’un sous-espace affinec omme des points, et ceux de sa direction comme des
vecteurs. Si a est représenté par le point A et b par le point B, on notera
−→
AB
la différence b − a. Avecces notations, la direction du sous-espace affine W est
l’ensembledes vecteurs
−→
AB où A et B sont deux points quelconques de W .
3.3 • Parallélisme
ATTENTION
Deux droitesp arallèles àu nm ême
plan ne sont pasn écessairement parallèles entre elles, pas plus qued eux
plans parallèles àune même droite.
Soit E un K-espace vectoriel.D eux sous-espaces affines W et W
sont dits
parallèles si la direction de l’unest incluse dans la direction de l’autre.
Exemples :
• Une droite D est parallèle àunplan P si
− →
D ⊂
− →
P , c’est-à-dire si quels que
soient les points A et B de D, il existe des points A
, B
de P tels que :
−→
AB =
−−→
A
B
.
• Deux plans P et P
sont parallèles s’ils ont la même direction :
− →
P =
− →
P
.
Ici, du fait de l’égalité, cette relation est transitive :deux plans parallèles àun
même plan sont parallèles entre eux.
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Espaces vectoriels
Il en résulteque l’ensemble des translations de E est un sous-groupe du groupe
des bijections de E dans E ;l egroupe des translations est abélien.
3.2 • Sous-espace affine
Soit E un espace vectoriel sur le corps K. On appelle sous-espace affine de E
l’imaged’un sous-espace vectoriel par une translation. Si W est l’image du sousespace vectoriel F par la translation de vecteur a, pour tout x ∈ F , a + x ∈ W ,
et pour tout y ∈ W , y − a ∈ F . W est doncl ’ensemble des éléments de E
obtenus en ajoutantà a un vecteur quelconque de F ;o nécrit : W = a + F .
Il en résulteque le sous-espace vectoriel F est unique :c’est l’ensemble des vecteurs
de la forme y − a où y ∈ W ;o nl’appelle direction du sous-espace affine W .
On peut le noter : F =
− →
W .
En revanche a n’est pas unique :cepeut être en faitn’importe quel élément de
W .
Exemples :
• Un singleton {a} est un sous-espace affine, de direction {0 E }.
• En géométrie, une droite passant par le point A, dirigée par le vecteur u non
nul, est un sous-espace affine de direction Vect( u).
• Un planpassant par le point A, dirigé par les vecteurs u,, vnon colinéaires,
est un sous-espace affine de direction Vect( u,, v).
• En analyse, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire
y
+ a(t)y = b(t)e st un sous-espace affine de l’espace des fonctions dérivables, dont la direction estl’ensemble des solutions de l’équation sans second
membre : y
+ a(t)y = 0( de même pour une équation différentielle linéaire
du second ordre).
Par analogie avec les deux premiers exemples,onconsidérera souvent les éléments
d’un sous-espace affinec omme des points, et ceux de sa direction comme des
vecteurs. Si a est représenté par le point A et b par le point B, on notera
−→
AB
la différence b − a. Avecces notations, la direction du sous-espace affine W est
l’ensembledes vecteurs
−→
AB où A et B sont deux points quelconques de W .
3.3 • Parallélisme
ATTENTION
Deux droitesp arallèles àu nm ême
plan ne sont pasn écessairement parallèles entre elles, pas plus qued eux
plans parallèles àune même droite.
Soit E un K-espace vectoriel.D eux sous-espaces affines W et W
sont dits
parallèles si la direction de l’unest incluse dans la direction de l’autre.
Exemples :
• Une droite D est parallèle àunplan P si
− →
D ⊂
− →
P , c’est-à-dire si quels que
soient les points A et B de D, il existe des points A
, B
de P tels que :
−→
AB =
−−→
A
B
.
• Deux plans P et P
sont parallèles s’ils ont la même direction :
− →
P =
− →
P
.
Ici, du fait de l’égalité, cette relation est transitive :deux plans parallèles àun
même plan sont parallèles entre eux.
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