Espaces vectoriels
COURS
11
2) Réciproquement, soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que
F + G = E et F ∩ G = {0 E }. Tout vecteur de E peut se décomposer en la
somme d’un vecteur de F et d’unvecteur de G. Supposonsque le vecteur x ait
deux décompositions :
x = x 1 + x 2 = x
1 + x
2
avec (x 1 , x
1 ) ∈ F
2
(x 2 , x
2 ) ∈ G
2
On aalors : x 1 − x
1 = x
2 − x 2 ;c evecteur appartient àlafois à F et à G, donc
il est nul. D’où x 1 = x
1 et x 2 = x
2 ;l ad écomposition est unique ; F et G
sont supplémentaires.
On dit dans ce cas que la somme F + G est directe.Onécrit : E = F ⊕ G.
APPLICATION 1
Partie paire et partieimpaire d’une fonction définie sur R
Montrerque toute fonction définie sur R peut se décomposer de façon unique en somme d’une fonction paire et
d’une fonction impaire.
Soit P l’ensemble des fonctions paires et I l’ensemble des fonctions impaires, définies sur R et àvaleursd ans R. P et I sont non vides et stables par
combinaison linéaire :cesont des sous-espaces vectoriels de R
R
. Montrons qu’ils sont supplémentaires.
Soit f ∈ R
R
;s if=g+ hoù g et h sont des fonctions respectivement paire et impaire, on doit avoir :
∀x ∈ R
f (x) = g(x)+h(x)
f(−x)=g(x)−h(x)
D’où :
∀x ∈ R g(x) =
f (x)+f(−x)
2
et
h(x) =
f (x) − f (−x)
2
Ces relations définissent donc les seules fonctions g et
h susceptibles de vérifier la décomposition cherchée.
Réciproquement, on vérifie qu’onabien, pour tout
f ∈ R
R
:
∀x ∈ R f (x) =
f (x)+f(−x)
2
+
f(x)−f(−x)
2
où x →
f (x)+f(−x)
2
est bien une fonction paire et
x →
f (x) − f (−x)
2
une fonction impaire.
On adonc prouvé l’existence et l’unicité de la décomposition de f en somme d’une fonction paire et d’une
fonction impaire;c’est-à-dire :
P⊕I=R
R
3 Sous-espaces affines d’un espace
vectoriel
3.1 • Translations
Soit E un espace vectoriel sur le corps K, et a un élément fixé de E. On
appelle translation de vecteur a l’applicationde E dans E : x
→ x + a.
Lespropriétés suivantes sont évidentes :
• l’identité de E est une translation, de vecteur0 E ;
• la composée de deux translations de vecteurs respectifs a et b est la translation
de vecteur a + b ;c ette composée est commutative ;
• une translation est bijective ;laréciproque de la translation de vecteur a estla
translation de vecteur −a.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
203
COURS
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2) Réciproquement, soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que
F + G = E et F ∩ G = {0 E }. Tout vecteur de E peut se décomposer en la
somme d’un vecteur de F et d’unvecteur de G. Supposonsque le vecteur x ait
deux décompositions :
x = x 1 + x 2 = x
1 + x
2
avec (x 1 , x
1 ) ∈ F
2
(x 2 , x
2 ) ∈ G
2
On aalors : x 1 − x
1 = x
2 − x 2 ;c evecteur appartient àlafois à F et à G, donc
il est nul. D’où x 1 = x
1 et x 2 = x
2 ;l ad écomposition est unique ; F et G
sont supplémentaires.
On dit dans ce cas que la somme F + G est directe.Onécrit : E = F ⊕ G.
APPLICATION 1
Partie paire et partieimpaire d’une fonction définie sur R
Montrerque toute fonction définie sur R peut se décomposer de façon unique en somme d’une fonction paire et
d’une fonction impaire.
Soit P l’ensemble des fonctions paires et I l’ensemble des fonctions impaires, définies sur R et àvaleursd ans R. P et I sont non vides et stables par
combinaison linéaire :cesont des sous-espaces vectoriels de R
R
. Montrons qu’ils sont supplémentaires.
Soit f ∈ R
R
;s if=g+ hoù g et h sont des fonctions respectivement paire et impaire, on doit avoir :
∀x ∈ R
f (x) = g(x)+h(x)
f(−x)=g(x)−h(x)
D’où :
∀x ∈ R g(x) =
f (x)+f(−x)
2
et
h(x) =
f (x) − f (−x)
2
Ces relations définissent donc les seules fonctions g et
h susceptibles de vérifier la décomposition cherchée.
Réciproquement, on vérifie qu’onabien, pour tout
f ∈ R
R
:
∀x ∈ R f (x) =
f (x)+f(−x)
2
+
f(x)−f(−x)
2
où x →
f (x)+f(−x)
2
est bien une fonction paire et
x →
f (x) − f (−x)
2
une fonction impaire.
On adonc prouvé l’existence et l’unicité de la décomposition de f en somme d’une fonction paire et d’une
fonction impaire;c’est-à-dire :
P⊕I=R
R
3 Sous-espaces affines d’un espace
vectoriel
3.1 • Translations
Soit E un espace vectoriel sur le corps K, et a un élément fixé de E. On
appelle translation de vecteur a l’applicationde E dans E : x
→ x + a.
Lespropriétés suivantes sont évidentes :
• l’identité de E est une translation, de vecteur0 E ;
• la composée de deux translations de vecteurs respectifs a et b est la translation
de vecteur a + b ;c ette composée est commutative ;
• une translation est bijective ;laréciproque de la translation de vecteur a estla
translation de vecteur −a.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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